Неавтономные операторы суперпозиции на отображениях конечной Л-вариации

• Автор: Солычева, Ольга Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 109 с.

I. Отображения одной переменной конечной Л-вариации

1. Вещественные функции конечной Л-вариации

2. Метрические полугруппы и конусы отображений

3. Произведение отображений конечной Л-вариации

4. Липшицевы операторы суперпозиции

II. Функции двух переменных конечной полной Л-вариации

5. Определения и основные свойства

6. Банахова алгебра ЛВУ(/*) функций двух переменных конечной полной Л-вариации

7. Липшицевы операторы суперпозиции в ЛВУ(^)

8. Метрическая полугруппа ЛВУ(С М)

9. Липшицевы операторы суперпозиции. Достаточное

условие
Литература

Диссертация посвящена проблеме описания операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах отображений одной и двух вещественных переменных конечной полной Л-вариации Уотермана.
Функции конечной (ограниченной) вариации играют фундаментальную роль в теории функций вещественной переменной и имеют важные приложения в других разделах математики (см., например, [4], [28]). Понятие вещественной функции конечной вариации на вещественной прямой Е было введено К. Жорданом (см. [4]) в 1881 году в связи с признаком Дирихле сходимости рядов Фурье. К. Жордан также показал, что функция конечной вариации представима в виде разности двух неубывающих ограниченных функций. В 1905 году Дж. Витали (см. [11]) предложил определение функции конечной вариации двух вещественных переменных. В различных контекстах функции конечной вариации изучали А. Лебег, Г. Харди, Ф. Рисс, Н. Винер, Л. Янг и другие математики (подробнее см. [11]).
В 1972 году Д. Уотерман ввел понятие функции конечной Л-вариации на отрезке вещественной прямой. Подобно Жордану, на пространствах таких функций он изучал сходимость и равномерную сходимость рядов Фурье. Другим приложением теории Уотермана является описание нелинейных операторов суперпозиции типа Немыцкого на пространствах функций конечной Л-вариации. В данной диссертации развивается теория отображений одной ([44], [45], [47]) и двух [46] вещественных переменных конечной (обобщенной) Л-вариации в смысле Уотермана. На пространствах таких отображений полностью изучены неавтономные нелинейные операторы суперпозиции, удовлетворяющие условию Липшица. Полученные результаты являются обобщением на случай отображений со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах некоторых известных результатов Я. Матковского, Я. Мища,
В. В. Чистякова, В. Смайдор, Г. Завадской, касающихся характеризации операторов суперпозиции на пространствах функций и отображений

одной переменной конечной вариации по Жордану ([19], [33], [34], [35], [39], [40], [43]), и двух переменных конечной вариации в смысле Харди-Витали-Краузе ([9], [10], [21]).
Пусть /, N и М — некоторые непустые множества. Обозначим через М1 семейство всех отображений, действующих из I в М. Для заданного отображения к : I х N —> М оператор Н : АЛ —> М1, определенный правилом
(Я/)(ж) = к(х,/{х)), /е^, х€/, (*)
называется оператором суперпозиции типа Немыцкого, а отображение к называется генератором (или пороэ/сдающим отображением) оператора Н.
Начиная с классических работ В. В. Немыцкого [5] и [6], операторы суперпозиции (как однозначные, так и многозначные), действующие в различных классах отображений, интенсивно изучаются и представляют интерес (см. [1], [8], [17], [19], [20], [33], [35], [39], [43], [45], [46], [47]),
Для того чтобы использовать основные принципы нелинейного анализа, во многих приложениях от нелинейных операторов требуется больше, чем свойство непрерывности. Например, принципиальное предположение в теореме Банаха о сжимающем отображении — это (глобальное) условие Липшица. Если в рамках определения (*) считать, что (АДр) С -/V7 и (МхД) С М1 — метрические пространства с метриками р и б соответственно, то условие Липшица для оператора суперпозиции Н запишется так:
Эр > 0 : (ДЯ/ь Я/г) < рр(/ь /2), /ъ/гбА^. (Ы)
В частном случае, когда (N1, II • Цдг,) с АЛ и (Мь II • ЦмД С М1 — нормированные пространства, условие (Ь1) естественным образом перепишется в виде:
3/х > 0 : ЦЯД - Я/2||М1 < /хН/г - /2|к, /ь /2 € М- (Ь2)
Таким образом, возникает задача о нахождении условий (по возможности необходимых и достаточных) для того, чтобы охарактеризовать условие

Так как / Е ЛВV(J, М), то функция Л-вариации <Ду(х), определенная согласно (2.6), является неубывающей и ограниченной, а, значит, ее множество точек разрыва не более, чем счетно на I [4, Гл. VIII,§ 1, теорема 1J. Но тогда из леммы 2.3(c) следует, что этим же свойством обладает множество точек разрыва отображения /, что и требовалось. □
Лемма 4.5. Пусть (М, d) — полное метрическое пространство. Тогда если / G ABV(/, М), то /* G ABV*(J, М).
Доказательство. 1. Прежде всего отметим, что отображение /* определено корректно, поскольку в силу леммы 4.4 в каждой точке х G (а, b} существует предел слева f(x — 0) = limy_>2:_o f(y) — f*{x) G M, а в точке x — а существует предел справа f(a + 0) = Шп^ в+о/И = /*(°) е м2. Покажем, что /* непрерывно слева в каждой точке ж G (а, 6]. Ясно, что если ж G / есть точка непрерывности отображения /, то /*(ж) = /(ж). В силу леммы 4.4 множество точек разрыва отображения / не более, чем счетно, поэтому множество точек непрерывности / всюду плотно на I, а тогда для х G (а, 6] найдется последовательность {ук)ь= точек непрерывности /, таких, что у к < х для всех к G N и у к —* х при к —» оо. Отсюда следует, что
lim /*(i/) = lim f*(yk) = lim f{yk) = lim /(у) = /*(х) в M.
y-*x—0 /с—>oo k-*oo y—>x—v
3. Покажем, что /* G ABV(/, M), причем V^d(f*J) < ПЛд(/, /). Пусть [щД], i = 1,... ,m, — набор отрезков в I таких, что а < а < &1 < а2 < Ь2 < ... < ат < Ьгп < Ь, о : т} -» {1 -
произвольная перестановка, и е > 0 задано. Положим Ьо = а. Возможны следующие случаи. Если а — щ, то по определению /* существуют точки G (ai, &i), a'x G (ахД), если же a < щ, то существуют точки b G (сцД), a( G (a, ax), а также для всех г — 2,... ,т (выбор точек производится последовательно сначала для г = 1, затем для г = 2, i = 3 и т.д.) 6( G ДД), a- G (6i_i,Oj), если &*_х ф а,;, или a- G Д_х,а;),
b[ G (Oi,bi), если bi-i = такие, что
d(r(bi),m)<£-^~ и Й(№),/К))<^,г = 1 т.