Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы для некоторых классов функций

• Автор: Парвонаева, Зайбогул Абдулалиевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 87 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Наилучшие квадратурные формулы для классов функций малой гладкости на конечном отрезке и полуоси

§1.1. Классы функций. Общая постановка экстремальной задачи

отыскания наилучших весовых квадратурных формул

1.1.0. Классы функций

1.1.1. Постановка задачи

§1.2. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов

функций малой гладкости

§1.3. Об одной наилучшей по коэффициентам квадратурной формуле типа Маркова для класса Нш[—1; 1]

§1.4. Оптимизация приближённого вычисления интегралов от быс-

троосцилирующих функций на классе функций Ны[0; 1] . : . . 44 §1.5. О наилучших квадратурных формулах с весом для функций,
заданных на положительной полуоси
Глава II. Экстремальные задачи для весовых кубатурных
формул
§2.1. Постановка задач. Классы функций
§2.2. Наилучшие кубатурные формулы с весом для класса функций

§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом
для класса функций
§2.4. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов
функций И7(1’1)фр(<5*), 1 < р < оо
Литература
Введение
Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболевских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Ьр[а,Ь], 1 < р < оо полностью решена в работах А.А.Женсыкбасва [16] и Б.Д.Бояиова [7].
Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук [21], В.П.Моторный [32], А.А.Лигун [31], М.И.Левин [27,28], Н.Е.Лушпай [29,30], В.Ф.Бабенко [2,4] и др. Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены
Н.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского [33] „Квадратурные формулы“- МлНаука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых паилучших квадратурных формул и наилучших кубатурных формул для интегралов с фиксированными особенностями на отрезке интегрирования.
Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегральных уравнений.
Пусть для вычисления интеграла
где /(і) - произвольная функция из некоторого класса функций, (/(/.) > 0 -заданная весовая функция, применена квадратурная формула
где Р = {ркУк-i - вектор коэффициентов, Т — {tk : а < ti < < ... < tn < b}
- вектор узлов, a Rn(f;q) := Rn(f;q;P,T) - погрешность формулы (0.0.1) па функции /(f).

(0.0.1)

Если Ш - некоторый класс функций /(£), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, 6], то через
обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (0.0.1) на классе Ш. Очевидно, что если весовая функция ц(£) задана, то верхняя грань (0.0.2) па данном классе функций зависит только от выбора Р = {Р&}ь=1 н Т = {Ц}£=1. В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (0.0.1), имеющих па данном классе функций ЯЛ наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины
Квадратурная формула (0.0.1), для которой выполняется равенство (0.0.3), называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда [41], а квадратурные формулы для которых выполняется равенство (0.0.4), называются наилучшими или оптимальными в смысле С.М.Никольского [33] для класса ал.
В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (0.0.1) и решаются задачи (0.0.3) и (0.0.4) для некоторых классов функций малой гладкости.
Цолыо данной работы является:
1. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и па полуоси.
^(ЗЛ; д, Р, Т) - знрЦЗД; д-Р,Т) | : / € ЯЛ} =
(0.0.2)
£„(ЭЛ; д, Т) = Ы Рп(Щ д- Р, Т), £п№ Ч) = ОК. 0“.п(9Л; д; Р, Г).
(0.0.3)
(0.0.4)

_ 3(1-е г) 4 + e 1 ~ 4n + (L2'28)
откуда и следует соотношение (1.2.2G). Далее из (1.2.28) сразу вытекает, что п£п (Н"[0,1|; е~ Т*)«3 (l - 1) + (l + i) ■ i, откуда, переходя к пределу при п —» оо, получим
lim (#ш[0,1]; е"г, Г*) = 3 (
п-*оо 4 Vе/
Теорема 1.2.2 полностью доказана.