Наилучшее равномерное приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами

• Автор: Кошелев, Антон Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 62 с.

Содержание

Список обозначений

Введение
Глава 1. Наилучшее равномерное приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами и родственные экстремальные задачи

§ 1.1. Построение приближающего оператора

§ 1.2. Оценка сверху величины наилучшего равномерного приближения оператора Лапласа линейными ограниченными
операторами

§1.3. Оценка снизу константы в неравенстве Колмогорова

Глава 2. Задача Стечкина и родственные экстремальные задачи для функций двух и трех переменных

§ 2.1. Построение приближающего оператора

§2.2. Оценка сверху величины наилучшего равномерного приближения оператора Лапласа линейными ограниченными операторами для функций двух и трех переменных
Глава 3. Наилучшее Ьр -приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами и родственные экстремальные задачи
§3.1. Построение приближающего оператора
§3.2. Оценка сверху величины уклонения приближающего оператора от оператора Лапласа в случае т > 2
§ 3.3. Оценка сверху величины уклонения приближающего оператора от оператора Лапласа в случае ш = 2
§ 3.4. Оценка снизу константы в неравенстве Колмогорова
Список литературы
Список работ автора

Список обозначений
N = {1,2
К = (—оо, +оо) - множество действительных чисел;
К+ = [0, +оо) - неотрицательная вещественная полуось;
К”1, т > 2, - евклидово пространство точек X = (ад
Х'1, . , Хт Е К СО скалярным произведением (X, У) = 2=1 хгУй и нормой ||Х|| = л/{Х, X);
§™-1(Х) = {У Е Мот: ||У — Х|| = к} - сфера радиуса к с центром в точке X Е Шт;
§т-1 _ е т. ||у|| < 1} - единичная сфера в Кот;
В™ = {У 6 Мт : ||У|| < К} - шар радиуса к с центром в начале
координат пространства Кт;
С(Кт) - пространство вещественнозначных функций, непрерывных и ограниченных на 1Кт, с равномерной нормой ||/||с(мт)
Loo = Ьоо(Кто) - пространство измеримых, существенно ограниченных функций на Rm с нормой ||/||оо = esssup{|/(X)| : X Е Rm};
Lp = Lp(Wn), 1 < р < оо, - пространство измеримых функций / на Rm с суммируемой степенью |/|р, наделенное нормой ||/||р
V = Т>(Шт) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций на R7”;
ХеЖт
1 /р

здесь V - произвольное целое число. Функция Д является идеальным сплайном Эйлера четвертой степени [19]. Эта функция является экстремальной функцией в неравенстве Колмогорова на числовой оси между равномерной нормой второй производной функции, равномерной нормой самой функции и нормой четвертой производной функции [17]
По значениям функции Д(ж) на положительной полуоси определим в пространстве Кт функцию ди{Х) т переменных по формуле
Простыми вычислениями можно проверить, что эта функция принадлежит пространству Посчитаем нормы функции (1.3.5), её оператора Лапласа и второй степени оператора Лапласа, получим
Подставляя полученные значения (1.3.6) в неравенство (1.3.2), получим требуемое.
Из неравенств (1.2.19), (1.3.1) и теоремы А справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3.1. При к — 1,п = 2,р = оо,т > 2 для величин (0.0.2), (0.0.3), (0.0.6) и наилучшей константы /С в неравенстве Колмогорова (0.0.5) справедливы следующие двусторонние оценки:
9h{X) = Д(г), г = ЦА"!, X Є Km.
(1.3.5)
(1.3.6)