Об одном виде выпуклости в многомерном комплексном анализе и его приложениях

• Автор: Симонженков, С.Д.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 81 c. : ил

Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ НА ЛИНЕЙНО ВЫПУКЛОМ ОТКРЫТОМ МНОЖЕСТВЕ

Предварительные сведения

§1. Об описании сопряженного пространства к пространству 21 голоморфных функций

§2. О разделении особенностей голоморфных функций

§3. О разложении голоморфных функций в ряды

простейших дробей

Глава 2. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ВЫПУКЛОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

§4. Свойства £ -сопряженных множеств

§5. Свойства £ -выпуклых множеств

§6. £ -выпуклые оболочки

§7. Схема Вольфа для £ -выпуклых областей

§8. О связи между обобщенной линейной и полиномиальной 60 выпуклостями
Глава 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ВЫПУКЛОСТИ
§9. Характеристика рационально выпуклых компактов
конечного порядка
§10. Об описании пространства Л(Е) для открытого
£ -выпуклого множества
§11. О разделении особенностей функций, голоморфных
на £ -выпуклых множествах
Литература

Область 3) пространства С 71 комплексных переменных называют линейно выпуклой, если для каждой ее граничной точки X можно указать комплексно 71-{ -мерную плоскость, проходящую через X и не пересекающую 3) . Связный компакт в С72 называется линейно выпуклым, если его можно аппроксимировать извне последовательностью линейно выпуклых областей.
С понятием линейной выпуклости тесно связано понятие сопряженного множества. Для О £ Е с С^сопряженным множеством называют множество
Е = [иеС71-. гсгъф1 Vz.eE}.
^ ГЧ
Аналогично определяется Е как сопряженное к Е • При этом Е
называется первым, а Е -вторым сопряженным множеством к
Понятие линейной выпуклости для 71-X было впервые введено в 1935 г. Е.Пешлем и Г.Беенке [I] . Однако по-настоящему интерес к этому понятию возник лишь в 60-х годах, когда обнаружились возможности эффективного его применения в ряде вопросов комплексного анализа. В работах А.Мартино и Л.А.Айзенберга этого периода понятия линейно выпуклого и сопряженного множеств нашли важные приложения в теории функций многих комплексных переменных. Например, в терминах линейной выпуклости были найдены необходимое и достаточное условия для разложения голоморфных функций на простейшие
дроби [2] . Сопряженные множества применялись в решении задачи о разделении особенностей [3] , а позднее - при обобщении метода суммирования Бореля на случай функций многих комплексных переменных [4] , при установлении аналогов теорем Пойа для многомерного случая [5, б] ив некоторых других вопросах анализа /см., например, [7-9] /. Наиболее ярко понятия линейно выпуклого и сопряженного множеств проявились при описании пространства jL'(jti) линейных непрерывных функционалов над пространством jt(JÜ) функций, голоморфных в области или на компакте jtL С17'
Для пространств аналитических функций одного комплексного переменного известна следующая двойственность: пространство А‘(ЛС) , где ÀL -открытое или замкнутое множество в расширенной комплексной плоскости С* , изоморфно пространству Я(С^Ж) . Для этой двойственности нет прямого аналога в многомерном случае, поэтому возникает вопрос: чем заменить дополнение jlL при П>{ ? Оказалось, что для некоторых классов линейно выпуклых множеств роль дополнения играет сопряженное множество: ЛЫ) изоморфно
МЛ) /двойственность Мартино-Айзенберга/.
Как уже указывалось, при TL - Z, понятие линейной выпуклости было введено Беенке и Пешлем. В случае произвольного 72 оно введено в работе [2] . Рассматриваемая там выпуклость называлась обобщенной, но затем [ю] термин "обобщенная выпуклость" был заменен ‘ более удачным термином "линейная выпуклость".
Указанную линейную выпуклость следует отличать от линейной выпуклости по А.Мартино. Термин "линейная выпуклость" применялся в работах А.Мартино fil, 12] в близком, но не тождественном смысле.
А именно, множество О^Е^С Мартино называл линейно выпуклым, если Е = Е . Оказывается, что линейно выпуклые по Мартино области и компакты являются линейно выпуклыми, а обратное не* верно, как показывают примеры в [Ю, 13 J

имеет нулей в Л) . Но в топологии Л (СП) » следоваьно, р(х)= £ (X) = ^ (х9) = 0.
Таким образом, для £ Є с>б£) найдена функция ^ такая, что £(Х) = 0, ^(Ш)ф0 при %еЛ) . Теорема 5 доказана.
Замечания. I. Импликация д/ =Ф а/ в условиях линейной выпуклости установлена в [27] , но с помощью других соображений.
2. Аналогичную теорему можно формулировать и для компактов. Например, для того, чтобы связный компакт О Є К С С71 был обобщенно линейно выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы он совпадал с одной из связных компонент своего второго Л -сопряженного множества.
§6. Л -выпуклые оболочки
72.
Для области О Є Л) С С обозначим, как и в §5, через Г семейство голоморфных в Л) функций вида , аеС1, «
Предположим, что это семейство не пусто. Область голоморфности
любой функции из Г представляет собой некоторую область в С < Рассмотрим пересечение Л)' всех таких областей голоморфности. Оно содержит Л) и может быть несвязным. Связную компоненту внутренности Л)' , содержащую Л) , назовем обобщенно линейно выпуклой оболочкой / Л -выпуклой оболочкой/ Л) . Ее обозначаем Н(Л)) ■ Если К -связный компакт, то его Л -выпуклую оболочку Н^(К) определим как пересечение всех ^-выпуклых областей, содержащих К •
Если для Л) семейство Л пусто, то полагаем Н^(Л)) ~ С