Мультипликаторы и наилучшие приближения по системам Виленкина

• Автор: Агафонова, Нина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Мультипликаторы пространств сходимости по норме

и других классов рядов по мультипликативным системам

1.1. Вспомогательные утверждения и теоремы

1.2. Мультипликаторы, связанные с пространствами сходимости по норме

1.3. Ряды Фурье ограниченных функций и борелевских мер и их приложения к теории мультипликаторов
1.4. Мультипликаторы рядов Фурье функций из пространств Ор-лича и Лоренца по мультипликативным системам

1.5. Мультипликаторы классов Гёльдера

Глава 2. Наилучшие приближения функций по мультипликативным системам и свойства их коэффициентов Фурье

2.1. Вспомогательные утверждения

2.2. Оценки наилучших приближений через коэффициенты Фурье
2.3. Описание классов, задаваемых наилучшими приближениями, через коэффициенты Фурье
Глава 3. Приложения теории мультипликаторов к вопросам Л
суммируемости
3.1. Равномерная сходимость преобразованных рядов Фурье по мультипликативным системам
3.2. Л—суммируемость рядов Фурье по системам характеров групп
Литература

Введение
Актуальность темы.
Данная работа посвящена преобразованиям рядов по мультипликативным системам с диагональной матрицей (такие преобразования называют мультипликаторами), а также односторонним и двусторонним оценкам наилучших приближений по этим системам. В качестве приложения теории мультипликаторов получаются результаты о Л —суммируемости рядов Фурье.
Первым примером мультипликативных ортонормированных систем явилась система Уолша, введенная американским математиком Дж. Уолшем [63] в 1923 году. В 1947 году Н.Я. Виленкин [11] изучил системы характеров коммутативных компактных нульмерных групп со второй аксиомой счетности. При отображении на отрезок эти системы характеров переходят в мультипликативные системы ортонормированных функций, которые часто называют по имени Н.Я. Виленкина. Иногда их называют системами Дж. Прайса, который в работе [54] определил их в более общей ситуации. Теория рядов по системе Уолша и по мультипликативным системам активно развивалась в СССР, Венгрии, США, Японии, КНР и в других странах. Помимо того, что эти системы представляют большой теоретический интерес, с конца 60-х годов они активно используются в сжатии информации. В СССР такие разработки велись школой A.B. Ефимова в Зеленограде. Вклад советских математиков в данную теорию достаточно полно отображен в монографии В.И. Голубова,
A.B. Ефимова и В.А. Скворцова [14], в то время как многие работы венгерских и американских математиков изложены в монографии Ф. Шиппа, У. Уэйда и П. Шимона [59].
Ряд вопросов теории рядов по мультипликативным системам разработан достаточно подробно. К ним относятся равномерная сходимость (К. Оневир, Д. Ватерман), абсолютная сходимость (К. Оневир, Н.Я. Виленкин и А.И

бинштейн, C.B. Бочкарев, Т. Квек и Л. Яп, С.С. Волосивец), теоремы единственности и близкие вопросы (В.А. Скворцов, У. Уэйд, H.H. Холщевникова, С.Ф. Лукомский), теоремы вложения (Б.И. Голубов, М.Ф. Тиман, А.И. Рубинштейн, Е.С. Смайлов). В теории приближения полиномами по мультипликативным системам имеется ряд результатов, связывающих наилучшее приближение с модулем непрерывности (в том числе обобщенной производной) (A.B. Ефимов, П.Л. Вутцер и X. Вагнер, Хе Зелин). Большое количество работ имеется по вопросу оценки приближений различными средними. Однако практически нет работ, посвященных оценкам наилучших приближений или модулей непрерывности в терминах коэффициентов Фурье (по той же системе, по которой рассматриваются наилучшие приближения). Глава 2 данной работы в определенной степени восполняет этот пробел.
Что касается теории мультипликаторов, т.е. преобразований одного пространства в другое, которые сводятся к диагональному оператору в пространстве коэффициентов Фурье, то здесь можно отметить работу Дж. Моргента-лера [53], в которой перенесен ряд классических утверждений о мультипликаторах рядов Фурье из ([16], глава 4, §11) на случай рядов Фурье-Уолша, и ряд работ Т. Квека и Л. Япа [55],[56],[57], в основном связанных с мультипликаторами обобщенных классов Липшица. В нашей работе рассматривается ряд других постановок задач о мультипликаторах, например, задачи о мультипликаторах равномерной сходимости.
Приведем краткий обзор предшествующих результатов, в основном относящихся к тригонометрическим рядам Фурье.
Теория мультипликаторов рядов Фурье берет начало с работы М. Фе-кете [42], хотя исторически первой работой в этом направлении была работа У. Юнга [65], в которой обсуждались множители коэффициентов Фурье, преобразующие ряд Фурье функции ограниченной вариации в ряд Фурье неопределенного интеграла Лебега.

ограничены.

При ßi < /?2 < ... < ßn < 1 неравенство следует из условия леммы. Таким образом, / Е АС [0,1]. □

Лемма 1.1.7. 1) Ряд Y a,kXk{x) является рядом Фурье функции f € Л[0,1)

тогда и только тогда, когда H-S'mJloo ;= Y o-kXk

2) Ряд Y а-кХк(х) является рядом Фурье функции / Е МС{0,1) тогда и

только тогда, когда Sr71n равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то есть для любого е > 0 существует 5 такая, что для всех 0 < h < ö и всех п Е N верно
||Smn(z® h) - SVXaOHoo < е. (1.1.2)
3) Аналогичные утверждения верны для B(G) и C(G).
Доказательство. Так как Smn(f)(x) = (Dmn * f)(x), то для / Е В[0,1) \Smn(f)\oo<\Dmn\1-\f\00=\f\00

II Smn{f)(x Ф h) - Smn(f)(x) [| оо ||T>m„||l||/(x Ф h) - /(xJIloo
откуда легко следует необходимость и в 1) и в 2).
Пусть ||5тг1 (ж) Цоо С для всех п. Тогда в силу ортономированности

{x/c}fcL0 получаем, что Y l«fc|2 = J „(я)!2 dx С2, откуда следует схо-
к=О О
оо тп
ДИМОСТЬ ряда Y ак2 И Y акХк СХОДИТСЯ К функции / Е 1/2[О, 1) В 1/2[0, 1). к=0 к—О

При этом ряд Y акХк является рядом Фурье функции /. Известно, ([14],

§2.8), что 5ТОп(/)(ж) сходится к f(x) в каждой точке Лебега функции f(x), откуда следует, что |/(х)| С п.в. на [0,1), и значит, существует /о Е Л[0,1)

такая, что / = /о п.в. на [0,1) и Y акХк{%) есть ряд Фурье /о(ж).

Пусть Smn{x) равностепенно непрерывны. При обратном отображении ApJ промежутка [0,1) на G(P)(cm. [14], §1.5) соответствующие функции Smn(x)