Методы глобального анализа в теории бифуркаций минимальных поверхностей

• Автор: Стенюхин, Леонид Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
Введение

I нелинейный анализ в теории
МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§1.1 Принцип множителей Лагранжа в банаховом пространстве
§1.2 Некоторые теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле
§1.3 Теорема Крэндалла-Рабиновича о бифуркации решений нелинейных фредгольмовых уравнений
II МЕТОД УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
В ТЕОРИИ ДВУМЕРНЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§2.1 Обобщенный оператор Плато
§2.2 Свойства обобщенного оператора Плато
III БИФУРКАЦИИ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ЯВЛЯЮЩИХСЯ НУЛЕ-

ВЫМИ ТОЧКАМИ ОБОБЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ПЛАТО
§3.1 Разрешимость линеаризованной задами двумерных минимальных поверхностей
§3.2 Бифуркации минимальных поверхностей как нулевых точек обобщенного оператора Плато при варьировании контура
§3.3 Примеры
IV МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
§4.1 Разрешимость задачи двумерных минимальных
поверхностей с ограничениями типа равенств
§4.2 О бифуркациях минимальных поверхностей с
ограничениями

Введение
Проблема существования минимальных поверхностей возникла в середине 19 века, когда в 1849 году бельгийский физик Жозеф Плато заметил, что если погрузить проволочный контур в мыльный раствор, то образуется пленка, которая по закону поверхностного натяжения принимает в качестве своего положения равновесия форму критической поверхности для функционала площади, называемой минимальной поверхностью, натянутой на контур [18].
В 40 — 50-е годы 19 века Гаусс, Томпсон, Дирихле, Риман, Вей-ерштрасс, Шварц, Дарбу и др.заметили, что граничная задача для дифференциального уравнения гармонических функций в области П плоскости сводится к задаче отыскания минимума соответствующего функционала при условии, что допустимые функции имеют заданные граничные значения. В силу положительной определенности функционала, существование решения последней задачи было признано очевидным и отсюда сделан вывод о существовании решения граничной задачи. В 1869 г. возражение Вейерштрасса сводилось к следующему. Из положительной определенности функционала следует существование его точной нижней грани. Риман, как и его предшественники, считали очевидным, что точныя нижняя грань является точным минимумом, который осуществляет некоторая допустимая функция. Но именно это утверждение и требует проверки. Обоснование удалось Гильберту в 1900 году [17], он обосновал некоторые теоремы существования Римана, не-

Глава II
МЕТОД УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА В ТЕОРИИ ДВУМЕРНЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В этой главе применяется метод условного экстремума в банаховых пространствах к проблеме двумерных минимальных поверхностей. В результате получен обобщенный оператор Плато, нулевые точки которого являются двумерными минимальными поверхностями в конформных координатах; исследуются его основные свойства.
§2.1 Обобщенный оператор Плато
Вариационная задача о существовании двумерных минимальных поверхностей в И3 в конформных координатах описывается функционалом Дирихле
П(п) = - [ ^и2 с1хс1у, (2.1.1)