Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля

• Автор: Щербаков, Александр Олегович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 145 с.

Содержание
Обозначения
Введение

Глава 1. Некоторые сведения из теории операторов. Метод подобных операторов

1.1. Основные понятия теории операторов

1.2. Основные понятия и теоремы метода подобных операторов

Глава 2. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Дирака

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Дирака

2.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов

для оператора Дирака
2.4. Асимптотика спектра оператора Дирака
2.5. Спектральность оператора Дирака
2.6. Оценки спектральных разложений оператора Дирака
2.7. Формула регуляризованного следа оператора Дирака
2.8. Оценка длин зон неустойчивости оператора Дирака
Глава 3. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом .
3.1. Постановка задачи
3.2. Метод подобных операторов для абстрактных операторов, близких к оператору Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом

3.3. Применение абстрактной схемы метода подобных операторов
для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом
3.4. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом
3.5. Спектральность оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом
3.6. Оценки спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом
3.7. Асимптотика аналитической полугруппы операторов, генерируемой оператором Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом
Литература
Обозначения
М — множество вещественных чисел;
Е+ = [0, оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;
С — множество комплексных чисел;
N — множество натуральных чисел;
Ъ — множество целых чисел;
Ъ+ = N и(0} — множество неотрицательных целых чисел;
X — комплексное банахово пространство;
% — комплексное гильбертово пространство;
Еп(1'Н — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н',
&2{'Н) — идеал операторов Гильберта-Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве И:
|| • Ц2 — норма Гильберта-Шмидта;
— идеал ядерных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н;
£а(Ю — банахово пространство операторов, подчиненных оператору А, с нормой || • ||л;
Я —допустимое пространство возмущений с нормой || • ||*;
1Р — банахово пространство последовательностей, суммируемых со степенью р;
Г/2[0,ю] = Г2([0,и],С) — гильбертово пространство измеримых на [0,сы] со значениями в С и суммируемых с квадратом нормы функций;
Ь2 ([0,тг],С2) — гильбертово пространство измеримых на [0,7г] со значениями в С2 и суммируемых с квадратом нормы функций;
1/2^ (К, С) — гильбертово пространство периодических периода со функций, определенных на К и суммируемых с квадратом нормы на [0, ю].

Определение 1.2.5. Пусть Я — линейное подпространство из £д(А') и
T-.il^EndX
являются трансформаторами. Тройку (Я, J, Г) назовем допустимой тройкой для (невозмущенного) оператора А, а Я — допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:
1) Я — банахово пространство (со своей нормой || ■ ||*), непрерывно вложенное в 2,а{Х) (т.е. существует постоянная С > 0 такая, что ||ХЩ < 6'||Х||* для любого X Є Хід(Д'));
2) J и Г — непрерывные трансформаторы, причем J — проектор;
3) (ГX)D(A) С D(A). Более того, ГХ Є D(adA), причем
adAГХ = АГХ - (ГХ)А = X - JX, УХ є Я. (1.5)
Кроме того, ГХ Є End X — единственное решение уравнения
adAY — AY - YА — X - JX, (1.6)
удовлетворяющее условию JY = 0;
4) XTY, (ГХ)У Є Я, УХ, Y Є Я, и существует постоянная 7 > 0 такая,

||Г|| < 7, тах{\ХГ¥\„||(ГХ)Г||.} < 7І|Х||.||Г||.;
5) для любого X Є Я и любого є > 0 существует число Лє є р(А), такое, что ||Х(А - Ле/)_1|| < £.
Теорема 1.2.1 ([11], [12]). Шустъ (Я, J, Г) — допустимая для оператора А :
: D(A) С X —> X тройка, и В — некоторый оператор из пространства допустимых для А возмущений Я. Тогда если выполнено неравенство
1И!1|£ІІ.ЦГЦ < (1-7)