Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов

• Автор: Пыркова, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 110 с.

Список обозначений

Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов возмущенных линейных операторов

§1 Метод подобных операторов. Теорема о расщеплении

§2 Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки

§3 Блочная диагонализация возмущенных операторов

§4 Спектральные свойства возмущенных операторов

§5 К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение

трансформатора Г в частном случае

§ О сопряженных операторах и отношениях

Глава 2. Приложения к спектральному анализу некоторых

классов дифференциальных операторов

§ 1 Спектральные свойства одного класса интегродифференциальных операторов
§2 Спектральные свойства одного класса операторов
§3 Дифференциальный оператор в пространстве вектор-функций..96 §4 Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных
операторов
Литература

Список обозначений.
N — множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
Е — множество действительных чисел;
С — множество комплексных чисел;
Я - комплексное гильбертово пространство;
ЕткШ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов (эндоморфизмов), действующих в Я;
£д(Я) — банахово пространство операторов, подчиненных А с нормой || • ||д;
І2 — гильбертово пространство последовательностей, суммируемых с квадратом;
Ь2[а,Ь — гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ь];
И — банахово пространство возмущений, которому принадлежит оператор В с нормой || • ||*
КегА— ядро оператора А;
ЯапА — образ оператора Л;
А* — сопряженный к А линейный оператор;
сг(Л) — спектр линейного оператора Л;
р(А) — резольвентное множество линейного оператора Л;
Я(-, Л) — резольвента линейного оператора Л;
Я(<то,Л) - проектор Рисса оператора Л, построенный по спектральному множеству сто из а (Л);

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов.
Такого рода операторы возникают, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [58]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. статьи А.Л.Скубачевского [47], В.В. Власова [17], Л.С.Пулькиной [43], Ю.Т.Сильченко [48]). Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [25]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.
В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24] , абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [5], [8].
Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А - В к другому, подобному ему оператору А—Во, где Во имеет несложную по отношению к А структуру.
Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [54] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [60] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [8] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармо-

собственному значению Ао, то есть Ао € &{Ак — РкХ°Рк). Таким образом, в действительности верно равенство

аа{А - В) = ^1 ъ(Ак - РкХ°Рк). (1.47)

Если оператор А имеет компактную резольвенту, то А—В - также оператор с компактной резольвентой [8] и, следовательно, сг(А -В) = ^(А — В). Поэтому из (1.47) получаем равенство

ст(А-В)= [] а(Ак-РкХ°Р1). (1.48)

В этом случае операторы Ак — РкХ°Рк, к £ Ъ, конечномерны, и поэтому каждое из множеств а(Ак — РкХ°Рк),к € Ъ конечно.
В общем случае для получения представления (1.40) с оценками (1.41) введем в рассмотрение замкнутые множества
Ак = {А 6 С : А, ак) < 2 || РкХ°Рк ||}, к 6 2.
Докажем, что множество сг(А) — а (А - В) содержится в множестве
А = и£-оо>
Если АобА, то АобЛ при любом к € Ъ и АоЕсг(Ак — РкХ°Рк). Действительно, ввиду свойства Аобсгь из представления
Ак - РкХ°Рк - А0Д = (Ак - А01к)(1 - {Ак - А01к)~1РкХ°Рк),
где 1к - тождественный оператор в #/., и оценки
следует, что оператор Ак — РкХ°Рк — Ао 1к, являясь произведением двух обратимых операторов, также обратимый оператор. Тем самым доказано включение
а(А-В) С Л = У Ль (1.49)