Марковские сплетающие операторы, джойнинги и асимптотические свойства динамических систем

• Автор: Рыжиков, Валерий Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 166 с.

§0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании

§0.2. Теория джойнингов и ее приложения

§0.3. Теория марковских сплетающих операторов

§0.4. Структура и основные результаты диссертации

Глава 1. МАРКОВСКИЕ СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ §1.1. Несколько методологических принципов

теории сплетений

§1.2. Дополнительная симметрия

§1.3. Индуцированные джойнинги

§1.4. Примеры тензорно простых систем

§1.5. Связь типов тензорной простоты

Глава 2. СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ, ПРОСТЫМ И КВАЗИПРОСТЫМ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ §2.1. Простые системы с несчетным централизатором .... 9 §2.2. Наследственная независимость и квазипростота
действий
§2.3. Минимальные самоприсоединения и кратная
возвращаемость
§2.4. Четная и нечетная тензорная простота
Глава 3. ДЖОЙНИНГИ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА НЕКОТОРЫХ ПОТОКОВ.
§3.1. Гладкие джойнинги и тензорная простота потоков
§3.2. Тензорная простота о>-простых потоков
§3.3. Перемешивающие потоки положительного
локального ранга

Глава 4. ДЖОЙНИНГИ ДЕЙСТВИЙ КОНЕЧНОГО И ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЛОКАЛЬНОГО РАНГА §4.1. D-свойство перемешивающих автоморфизмов
конечного ранга
§4.2. D-свойство перемешивающих Z'г-дeйcтвий
и локальный ранг
§4.3. Тензорная простота перемешивающих систем
с D-свойством
§4.4. Кратное перемешивание и локальный ранг
§4.5. Ранги и джойнинги автоморфизма ТхТ
Глава 5. НЕКОТОРЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§5.1. Проблема Рохлина об однородном спектре
§5.2. Перемешивающие автоморфизмы с однородным
непростым спектром
§5.3. Изоморфизм декартовых степеней преобразований
и аэ-перемешивание
§5.4. Асимметрия прошлого и будущего системы
и кратная возвращаемость
§5.5. Расширения, сохраняющие кратное перемешивание
и тензорную простоту
ЛИТЕРАТУРА

§0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании
Основным объектом исследования в диссертации является обратимое сохраняющее меру /л преобразование Т пространства Лебега (Х,В,ц), которое называют автоморфизмом. Динамической системой называется четверка (Т, X, В, р) или, в более общей ситуации, сохраняющее меру действие некоторой группы. Среди свойств Т, которые представляют интерес для эргодической теории, особую роль играют асимптотические свойства (свойства систем для больших значений времени). Рассмотрим пример такого свойства, который является ключевым для нашей работы.
Кратное перемешивание. Говорят, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Ло Ак € В и любых последовательностей щ гц —> оо выполнено:
/х(А0 П Г"1 Л!... П Тщ+ '+г>кАп) -> /ДАоМАО • • • /ДА*)-
В.А. Рохлин в работе [21] ввел понятие кратного перемешивания и доказал, что эргодический эндоморфизм компактной коммутативной группы обладает кратным преме-шиванием всех порядков. Проблема эквивалентности свойств перемешивания разных порядков, получившая название проблемы Рохлина о кратном перемешивании, стала популярна после выхода книги Халмоша [58]. Напомним историю результатов.
В.П. Леонов [13] показал, что перемешивающие гауссовские системы обладают перемешиванием всех кратностей. Ф. Ледраппье [71] обнаружил контрпример к проблеме о
Выражение
1 ГЕ
~ / (^,^m(i)Tsm{i)B^n(i)Tsn{i)C)) ds £ Jo
при фиксированном г и больших i мало отличается от
Поэтому при фиксированном произвольном г £ Е получим (.А,Р{В®С))
1 Г
lim lim - / (А, Фт(;)Т5т(1)ТагВФп(,)Т5П(,)Т,.С')) ds.
£-+0 1->оо Е Jo
Это приводит к равенству
Р(Таг 0 Тг) — Р,
что влечет за собой
(А,Р(В®С)) = ц(А)ц(В)^С).