Инвариантные алгебры непрерывных функций на однородных пространствах компактных групп Ли

• Автор: Латыпов, Ильяс Абдульхаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Коммутативные банаховы алгебры
1.2. Необходимые сведения о группах Ли
1.3. Необходимые сведения из теории инвариантов
1.4. Необходимые сведения из комплексного анализа
1.5. Пространства бинарных форм и БЬ(2, С)-орбиты
1.6. Инвариантные алгебры
1.7. Инвариантные пространства непрерывных функций
1.8. Транзитивные действия на сферах
1.9. Инвариантные алгебры на вещественных сферах
1.10. Инвариантные алгебры на комплексных сферах
1.11. Зр(гг)-инвариантные пространства функций на 54гг
Глава 2. Конечнопорожденные инвариантные алгебры
2.1. Дельта-функции конечномерных инвариантных подпространств
2.2. Инвариантные идеалы инвариантных алгебр
2.3. Конечнопорожденные инвариантные алгебры, орбиты дельта-функций порождающих пространств которых замкнуты

2.4. Существование несамосопряженной инвариантной алгебры на однородном пространстве
2.5. Инвариантные алгебры СЯ-функций
2.6. О пространстве максимальных идеалов конечнопоро-жденной инвариантной алгебры
Глава 3. Инвариантные алгебры на сферах
3.1. Инвариантные алгебры на исключительных сферах
3.2. Эр(п) х Эр(1)- и Эр(гг) х и(1)-инвариантные алгебры на

3.3. Конечнопорожденные инвариантные алгебры на 811(2)
3.4. Инвариантные алгебры на 811(2), не являющиеся конеч-нопорожденными
3.5. 8р(п)-инвариантные алгебры на 54”“1, п >
3.6. Инвариантные алгебры СД-функций
Литература
Введение
Будем называть инвариантной алгеброй на однородном пространстве М = Є/Н компактной группы Ли Є инвариантную относительно действия (3 на М содержащую единицу замкнутую подалгебру банаховой алгебры С(М) всех непрерывных функций на М. Ограничения на остов (границу Шилова) алгебр всех аналитических и непрерывных вплоть до границы функций на симметрических областях являются инвариантными алгебрами (на остове). Эти алгебры антисимметричны, то есть не содержат непостоянных вещественнозначных функции. Противоположный класс алгебр составляют самосопряженные алгебры, которые вместе с каждой функцией / содержат комплексно-сопряженную функцию /. Благодаря теореме Стоуна-Вейерштрасса описание самосопряженных инвариантных алгебр сводится к нахождению всех замкнутых подгрупп Є, содержащих Н. В связи с этим представляется интересным решение такой задачи: при каких условиях на однородном пространстве не существует несамосопряженных инвариантных алгебр?
Известно много примеров несамосопряженных инвариантных алгебр, и все они укладываются в одну схему. Пусть М эквивари-антно вложено в комплексное многообразие М1, на котором действует группа 67. Предположим, что образ М является границей Шилова (7-инвариантной области И в М'. Тогда ограничение на М множества всех аналитических и непрерывных вплоть до гра-

Найдем теперь старшие векторы из Н{р, q), соответствующие неприводимым представлениям sp(n,C), они должны зануляться под действием операторов 7г(йу) (при г > j) и я(Ьы) для всех к, I.
Предложение 1.32. При п > 1 многочлен
51 = Wzl(wiZ2 - WZiY
является старшим вектором некоторого неприводимого представления sp(n, С) со старшим весом (p + q + r, г, 0
s2 = z{w(z2Wi - ziwY)r.
Доказательство. Очевидно, что si Є Н{р + r,q + г). Поскольку S ЗаВИСИТ ТОЛЬКО ОТ W, W2, 1 И Z2, то 7r(6y)si = 0 для всех і и j и 7г(aij)s = 0 при j > 2. Непосредственной проверкой получаем 7r(oi2)si = 0, то есть это старший вектор. Обозначим через Р{Рі Чіг) неприводимое подпространство в Н(р + г, q + г), порожденное старшим вектором si. Так как 7г(ац) действует на si умножением на {p + q + r), {022) действует на si умножением на г, а
7т{ац)шігІ{шіг2 - w2z1)r
при г > 2, то si — старший вектор неприводимого представления со старшим весом (р + q + г, г, 0
52 = zw{z2Wi - Z1W2Y
содержится в пространстве P(p,q,r), так как S2 = (—1)Р(Т * si), где Т — преобразование из Sp(n), такое что
Tzi = Wi, Twi = -Zi, і = 1
Аналогичная проверка показывает, что S2 зануляется под действием л(а) (при г < j) и n{cki) для всех к, I. Значит, S2 зануляется