Линейные отношения, полугруппы линейных отношений и дифференциальные операторы

• Автор: Загорский, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Оглавление:

Список обозначений

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений

§ 1 Основные определения из теории линейных отношений

§2 Инвариантность и И-инвариантность

§3 Свойство стабилизации степеней линейного отношения

§4 Об одном классе полугрупп линейных отношений

Глава 2. Комплексификация линейного отношения

§10 функциональном исчислении для линейных отношений на

вещественных банаховых пространствах

§2 О полугруппах операторов и спектральной теореме

Глава 3. Исследование дифференциального оператора, порожденного задачей Коши с начальным условием из
подпространства
Литература
Список обозначений.
N — множество натуральных чисел;
Ъ — множество целых чисел;
- множество неотрицательных целых чисел;
К. — множество действительных чисел;
С — множество комплексных чисел;
ТГ = {Л £ С : |А| — 1} - единичная окружность;
В = {А G С : |А| < 1} — открытый единичный круг;
X, У, Л', У — банаховы пространства;
X* — сопряженное к X банаховы пространства;
X — комплексификация вещественного банахова пространства X;
Нот(Х,У) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на банаховом пространстве X со значениями в банаховом пространстве У;
End X — Нот{Х,Х) — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства X;
X, хУ — декартово произведение двух банаховых пространств X и У;
X", п € N - декартово произведение п экземпляров банахова пространства X;
LO(X, У) — множество линейных операторов, с областью определения из X со значениями в У;
LR(X, У) — множество линейных отношений между линейными пространствами X и У;
LRC(X, У) — множество замкнутых линейных отношений между линейными топологическими пространствами А" и У;
Ю(Х) = Ю{Х,Х), LR(X) = LR(X, X), LRC(X) = LRC(X, X);
I(er A — ядро отношения A € LR(X);
Im A — образ отношения A e LR{X)
A* — сопряженное к ,4 € LR(X,Y) линейное отношение;
a(A) — спектр линейного отношения A G LRC(X);

p{A) — резольвентное множество линейного отношения А £ LRC(X);
р(А) — расширенное резольвентное множество линейного отношения A £ LRC(X);
R(-,A) : р(А) -з- End X — резольвента линейного отношения Л £ Li?(?(X);
/p(Z+,X) — банахово пространство суммируемых суммируемых со степенью р нормы последовательностей х : Z+ —» X с нормой
11*11
1оо{%+, X) — банахово ограниченных последовательностей векторов из X с нормой
11*11 = 8щ>||*(*)|1;
fcsN
LP(M+, X) — банахово пространство суммируемых со степенью р нормы измеримых (по Бохнеру) функций, определенных на Ш+ и со значениями в X с нормой
(оо 1/р
/ Mt)WPdt , р £ [1,оо);
Zoo(]R+,X) — банахово пространство существенно ограниченных на R+ измеримых функций со значениями в X с нормой
|]ж]| = vraisup ||ж(£)||.
1/р
V G [1, оо);
к=О
ет, что верны равенства JB/JT = — / f((p(—t))R(cp(—t),A)ip'(-t)dt
27Г J
В j, где / G С (А), /(А) = /(А), А € А. Отсюда получаем, что верна Лемма 2.9. Имеет место равенство
JBy-JT = By. (2-6)
Если f — f, то оператор В f является комплексификацией некоторого оператора Bf € End X.
Для вычисления оператора Bf введем понятие комплексной резольвенты линейного отношения А € LR(X).
Определение 2.5. Отображение Rc(-, -,А) '■ С х р(А, С) —» End X, где А) - оператор из End X, комплексификацией которого
является оператор из End X вида
-(дД(А,А) + ДЯ(А,А)), А € р(Д С),д € С, (2.7)

будем называть комплексной резольвентой отношения А 6 LR(X).
Корректность определения 2.5 следует из лемм 2.5 и 2.8. Отметим, что сужение комплексной резольвенты на множество {1} х 1 отождествляемое с R совпадает с резольвентой i?(-, А) : р(А) СМ-+ End X отношения A 6 LR(X), а сама комплексная резольвента является функцией первого аргумента при декомплексификации С.
Наряду с комплексной резольвентой важную роль в исследовании спектральных свойств отношения А 6 LR(X) играет функция Ф : р(А, С) -> End X, Ф(А) = ((А - АД)2 + А2/)“1, А
Ai + 1X2 € /?(Д С). Корректность ее определения объясняется следующим образом. Из равенства (2.2) следует, что линейное отношение (А — AI) (А — AI) является комплексификацией линейного отношения (.А — ai)2 + Д2Д где и + i(5 — А. Из леммы 2.5 и ее следствия 2.2 получаем, что оператор (А — AI)_1(A — AI)“1 является комплексификацией оператора Ф(А), A G р(А,С).