Гиперболические группы операторов и уравнение Ляпунова. Спектральный анализ дискретных систем

• Автор: Воробьев, Антон Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 81 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Основные понятия и используемые результаты

§1.1 Некоторые сведения из теории операторов

§1.2 Полугруппы разностных операторов в спектральном

анализе линейных дифференциальных операторов . .

2 Гиперболические группы операторов и уравнение

Ляпунова

§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова

§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов групп операторов

§2.3 Теорема М.Г.Крейна для гиперболической группы
Хоулэнда
3 Условия существования решений разностных уравнения и их оценок
§3.1 Об условиях разрешимости некоторого класса нелинейных разностных уравнений
§3.2 Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений
4 Оценки норм степеней матрицы
§4.1 Общие оценки
§4.2 Оценки'матрицы простой структуры

Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
Ж - множество вещественных чисел;
С - множество комплексных чисел;
'Н - комплексное гильбертово пространство;
Еп<Ш - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих В ТІ]
X - комплексное банахово пространство;
Еп<1Х - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X]
Є(Т) - график оператора Т
КегТ - ядро оператора Т;
1тТ - образ оператора Т;
В = В{Т) - область определения оператора Г;
||Г|| - норма оператора Т;
р(Т) - резольвентное множетсво оператора Т;
Я(Л,Т) - резольвента ператора Т; ст(А) — С р(А) - спектр оператора А; г(А) — спектральный радиус оператора А;

І/ — 1/(3, Ті) - гильбертово пространство (классов эквивалентности) измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций;
£р = £р(Ъ, Н). р Е [1,оо] - пространство двусторонних последовательностей векторов из Н, суммируемых со степенью р для р Є [1, оо) и ограниченных для р = оо;
Ы - семейство эволюционных операторов;
Си - оператор вида Сц : О(Сц) С Т — ^(М, X)) —>
Аи - оператор вида Аи — I - Ти( 1);
Со = Со(2, X) - банаховое пространство Со = Со(^, X) — {ж Є 4о : Нт ||ж(гг)|| = 0};
п—>оо
Т = {Л€С:|А| = 1} - единичная окружность;
1 - одно из множеств: М+ или М;
Дл - множество следующего вида Дд = {(4, в) € 1 х I : я < і};
/ - тождественный оператор;
Нотп('Ні,У,2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на Тії со значениями в Н2.

lim Ш)Хх—Xx = ХА А Хх = ^Х^х = Ух
t->o+ t
Если х - произвольный вектор из "Hi, то рассмотрим последовательность векторов хп = —nR(n, А),п > 1, из D(AX), сходящуюся к х. Тогда последовательность функций yn(t) = T2(t)XT{t)xn,n > 1, на каждом конечном промежутке [0, а] обладает свойствами:
1 )(уп) сходится к функции y(t) = T2(t)XTi(t)x,t & [0,а], равномерно;
2) последовательность у'п = T2{t){A2X + XAi)Ti(t)x„ = T2(t)YTi(t)xn,n > 1, равномерно сходится к функции z(t) = Ti(t)YTx,t € [0, а]. Следовательно, функция у дифференцируема и у (0) = Yx.
Поэтому Y € D(A) и АХ = Y. Лемма доказана.
Теорема 2.3. Пусть полугруппы onepamopoeTi : R+ —¥EndHi,i
1,2, экспоненциально убывают. Тогда трансформатор С обратим и обратный к нему трансформатор С~г определяется формулой

{C~lY)x = -JT2(t)YT1(t)xdt, Y € Hom(Hi,H2),x € Ux. о
(2.11)
Для доказательства достаточно сослаться на лемму 2.3, а также учесть, что правая часть в (2.11) определяет обратный оператор к генератору А полугруппы Т : R+ —fEndüfom^i,TLi).
Теперь вернёмся к рассмотрению уравнения Ляпунова (2.9).
Теорема 2.4. Пусть полугруппа Т : М+ —>EndH -экспоненциально убывает. Тогда уравнение (2.9) разрешимо для любого one-