Краевые задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге

• Автор: Хрисанфов, Василий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Смоленск
• Количество страниц: 127 с. : ил.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР

ЛИТЕРАТУРЫ

§1.1. Основные понятия и обозначения

§ 1.2. Об одном методе решения обобщенной задачи Гильберта

для аналитических функций в круге

§1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для

полианалитических и метааналитических функций

ГЛАВА II. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В

КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

§2.1. Постановка основных классических задач типа Г ильберта

§2.2. Методы решения задачи Гю

§2.3. О решении задачи Гк2
ГЛАВА III. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ
§3.1. Постановка основных неклассических задач типа
Г ильберта
§3.2. Метод решения неклассической задачи Гм для
обобщенных метааналитических функций в круге
§3.3. О решении неклассической задачи Гм для обобщенных
метааналитических функций в круге
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Теория краевых задач для аналитических функций и различных их обобщений в настоящее время является одним из бурно развивающихся разделов теории функций комплексного переменного. Устойчивый интерес многих ученых к исследованию различных вопросов этого раздела математики обусловлен, прежде всего, наличием большого числа практических приложений и тесными связями с другими математическими теориями. Еще в начале XX века Г.В. Колосовым [35] было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции, т.е. решения обобщенного уравнения Коши-Римана:
(«.о

где -£= = -(—+/— - дифференциальный оператор Коши-Римана.
дг 2дх ду)
Кроме того, теория краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [5], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [14] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [15], [31], [42], [44], [45], [60], [66], [86].
Следует отметить, что, благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [14], Н.П. Векуа [15]-[16], Ф.Д. Гахова [20],
Э.И. Зверовича [28]-[29], Д.А. Квеселава [32], Г.С. Литвинчука [39], С.Г. Михлина [41], Н.И. Мусхелишвили [42]-[43], Л.И. Чибриковой [77] и многих других математиков, классическая теория линейных краевых задач в классах аналитических функций на сегодняшний день представляет собой хорошо систематизированную отрасль знаний. Однако при решении многих вновь возникающих прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории оказывается недостаточно. Поэтому при постановке краевых задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных

и искомых функций, о границах рассматриваемых областей и о других параметрах задачи.
Российскими и зарубежными авторами в последние два-три десятилетия опубликовано значительное количество оригинальных работ в области краевых задач комплексного анализа, исследования в которых ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функций, комплексно сопряженных с искомой; исследуются краевые задачи в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного (бианалитические, метааналитические функции) [45]-[52], [60], [62], [64]-[66], [81]-[85].
Следуя K.M. Расулову (см. [45], с. 14), краевую задачу для решений дифференциального уравнения второго порядка (0.1) будем называть классической, если в ней требуется найти решения уравнения (0.1) по двум независимым краевым условиям; если же требуется найти решения дифференциального уравнения (0.1) лишь по одному краевому условию, то такую краевую задачу назовем неклассической.
Среди классических краевых задач для бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1)) наиболее часто встречающимися в математической литературе и приложениях являются следующие две задачи типа Гильберта: в конечной односвязной области Т*, ограниченной простым замкнутым гладким контуром у, требуется найти бианалитическую функцию F(z) = U{x,y) + iV{x,y), удовлетворяющую на у одному из следующих краевых условий'.
Задача ГК1.
Re{h0(t)F+ (/)} = q0(t), (0.
дп+

Следовательно, при 77, <0 для разрешимости задачи (2.14) необходимо и достаточно выполнение следующих условий
= 0, у = 1 г, (2.28)

где фх(/) ^(0 - полная система линейно независимых над полем И решений однородного уравнения (2.23).
При выполнении условий (2.28) общее решение обобщенной задачи Гильберта (2.14), задаваемое формулой (2.17), линейно зависит от и-|т7,| + 1 произвольных действительных постоянных (см. теорему 1.5).
Замечание 2.3. Здесь также отметим, что некоторые из условий (2.9) можно удовлетворить за счет определенного выбора значений некоторых из и-|т7,| + 1 произвольных постоянных, входящих в общее решение задачи (2.14)
при 77, <0. Следовательно, в силу формулы (2.19) в данном случае справедлива оценка: 0 3) Пусть Хо > 0 и 77, <0. В этом случае обычная задача Гильберта безусловно разрешима и ее общее решение линейно зависит от %0 +1 произвольных действительных постоянных. Следовательно, функцию 6,(0, задаваемую формулой (2.15), можно представить в виде (2.20). Как видно из результатов п. 1.2.3, в данном случае для разрешимости задачи (2.14) необходимо и достаточно, чтобы было разрешимо следующее интегральное уравнение Фредгольма II рода
А+1
(Л70 = (0М0 + ГООт)р(т)йа = 2<7,(0 -2XаА(0 • (2.29)
у *
В свою очередь, для разрешимости уравнения (2.29) необходимо и достаточно выполнение условий
^(0<* = 0, у = 1 V, (2.30)
| а(о
у *