Вопросы поточечной сходимости и сходимости в среднем сумм Фурье и их линейных средних по некоторым ортогональным системам

• Автор: Магомед-Касумов, Магомедрасул Грозбекович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 109 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Приближение функций из весовых пространств Лебега и Соболева с переменным показателем суммами Фурье по системе Хаара

1.1. Предварительные сведения

1.1.1. Система Хаара

1.1.2. Пространство Лебега с переменным показателем

1.1.3. Весовое пространство Лебега с переменным показателем

1.1.4. Класс весовых функций НР(.)(Е)

1.1.5. Класс весовых функций Лр(.)(@)

1.2. Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем

1.2.1. Введение

1.2.2. Основной результат
1.3. Приближение функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега и Соболева с переменным показателем
1.3.1. Введение
1.3.2. Предварительные сведения
1.3.3. Приближение функций из весовых классов Соболева
с переменным показателем суммами Фурье - Хаара
1.3.4. Приближение функций из весовых пространств Лебега с переменным показателем суммами Фурье - Хаара

1.4. Сходимость прямоугольных сумм Фурье - Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем
1.4.1. Постановка задачи
1.4.2. Вспомогательные утверждения
1.4.3. Основной результат
Глава 2. Некоторые вопросы поточечной сходимости
2.1. Особенности поведения частичных сумм Фурье - Хаара в двоично-иррациональных точках разрыва
2.1.1. Введение
2.1.2. Вспомогательные утверждения
2.1.3. Основной результат
2.2. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена тригонометрических рядов на классах кусочно гладких функций
2.2.1. Основные понятия
2.2.2. Вспомогательные утверждения
2.2.3. Основной результат
Заключение
Литература

Введение
В данной диссертации можно выделить два направления. Первое направление посвящено исследованию аппроксимативных свойств рядов Фурье по системе Хаара в весовых и безвесовых пространствах Лебега с переменным показателем (глава 1). Второе направление включает в себя исследование особенностей поточечной сходимости сумм Фурье - Хаара для разрывных функций, а также содержит некоторые вопросы, связанные с локальными аппроксимативными свойствами средних Валле-Пуссена по тригонометрической системе для кусочно гладких функций (глава 2).
Актуальность и краткое содержание диссертационного исследования. Рассмотрим первое направление (глава 1). В последние годы стремительными темпами растет число работ, так или иначе связанных с пространствами Лебега с переменным показателем (см. [1—4] и приведенные там списки литературы). Данные пространства естественным образом возникают в многомерном вариационном исчислении [5-7], в теории дифференциальных и интегральных уравнений [1], в теории и приложениях по обработке сигналов и в ряде других областей. Поэтому изучение и развитие теории этих пространств не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическую значимость.
Первое систематическое исследование топологии этих пространств было дано в работе [8]. В частности, в ней было показано, что если 1 < р(Е) < р(Е) < оо *, то топология пространства 1/(хЕ) нормируема и одну из эк-
*3десь и далее символами р( М), р(М) будем обозначать cssin! р(х) и ess sup р(х) соответственно
х€М хеМ

Взаимосвязь условий (Н1) и (Н2)
Условия (Н1), (Н2) при внешнем их различии на самом деле тесно связаны: условие (Н1) является предельным случаем при р —> 1 условия (Н2). Действительно, пусть р{х) > 1, х € Е. Покажем, что Нгг'рИНрД.^.Е') —> при р(Е) —» 1. Далее в доказательстве, когда речь идет о множестве Е, мы будем опускать скобки с символом Е.
Пусть го > 0 (случай ги = 0 рассмотрим отдельно). Убедимся сначала в том, что
Нтйир ||го-^Н|Ь(.) < —. (1.20)
р->1 Ш
Согласно определению
'ги(х)~г&>р'(х)
і / /wlx) рМУСТ
|| w рП||р'(.) = inf {Л > 0 : J = I ( д----J dx < 1}.

Учитывая, что —^ = 1, интеграл, используемый в этом определении,
можно переписать в виде
J ~ f ( ! "^ Г v) Р(Х)
w(x)p№/
Рассмотрим два случая.
1) Пусть 0 < ш < 1- Подставляя Л = ^ЕррР- - в интеграл J, выводим
лу I / I ,, I Ем I 1 т.г-г_

w(xy ЫЕ) +1)^
і [ < .. < 1 а 21)
р(Е) + 1 J w(x)J ~ р(Е) + 1 - (L21j
2) Пусть w > 1. Полагая Л = (^р(Е) + 1^ (w)* ’ для интегРала J
получим