Аппроксимация голоморфных однолистных функций композициями канонических отображений

• Автор: Кузнецов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 104 с.

1 Представление однолистных функций с помощью композиций

1.1 Параметрический метод представления однолистных функций

1.2 Геометрическое условие плотности композиций

1.3 Необходимое и достаточное условие плотности композиции

2 Аппроксимация однолистных функций с помощью композиций

2.1 Формулировка основного результата второй главы

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Аппроксимация функции из класса Я функцией из класса 5м

2.4 Аппроксимация в окрестности единицы

2.5 Оценка скорости аппроксимации по полунормам

2.6 Оценка скорости аппроксимации для функций, представимых с помощью уравнения Лёвнера

3 Смежные вопросы
3.1 Сходимости итеративных последовательностей
3.2 Оценка времени существования решения в задаче Хеле-Шоу
Литература

Различные классы голоморфных однолистных функций используются в геометрической теории функций комплексного переменного, математической физике и других разделах математики. Характеризующиеся простой и наглядной геометрической интерпретацией, данные классы имеют сложную аналитическую структуру. Одной из причин, вызывающих эту сложность, является нелинейность рассматриваемых классов. Однако многие из них замкнуты относительно операции композиции, что позволяет их рассматривать как топологическую полугруппу.
Наиболее простым классом, обладающим полугрупповым свойством относительно операции композиции, является класс М. голоморфных однолистных функций в единичном круге Ш> = {г : г < 1}, отображающих Ю> в себя и нормированных условием /'(0) > 0, /(0) = 0. Единицей в данной полугруппе служит тождественное отображение.
Класс М. имеет тесную связь с наиболее известным и хорошо изученным классом 5 однолистных функций в В, с нормировкой /'(0) = 1, /(0) = 0. Из условий нормировки следует, что если д(г) е М, то д(г)/д'{0) 6 5. Кроме того, функции д{г)/д'{0) образуют плотное подмножество класса 5, когда функция д(г) пробегает весь класс МИспользуя групповую структуру класса Л4, Лёвнеру [54] удалось
Пусть
/м(г)

= \{гЛоёМ)\г = г м.
Отсюда получаем следующее неравенство
|| Д/лтОФ 1м(г)
1К м , М
< МЫг)-Аш,^)1м\г ^ М\д{г)-г\ги.
(2.4)
По лемме 6 имеем
М\9{г) ~ г\Гм < М-
(1 ~ гм)2'
Так как /м/М € М. и 0) = 1, то лемма 7 дает неравенство
г-2 < г2
'А/ Т
(1 -гмУ&~2^м
Из неравенств (2.4) и0<гд/<г<1и соотношения (2.3) следует, что

II/ /л/||г
(1 -г)4М‘
Доказательство предложения 3. Оно непосредственно следует из предложения 2 и леммы З.В
2.4 Аппроксимация в окрестности единицы
Опять, как в предыдущем параграфе, сформулируем нужные нам оценки, для обеих полунорм в следующих предложениях.
Предложение 4. Для любых функциий /, Н £ Л4,/'(0) = ё~1, и Д 6 Я существуют ау, 7у,у = 1 т такие, что