Корректная постановка краевой задачи Римана с коэффициентом, имеющим разрывы почти-периодического типа

• Автор: Додохова, Г.В.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 116 c. : ил

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАССЫ И БАЗИСЫ

1.1. Пространство ЗЦе,р)

1.2. Пространство

2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РЙМАНА

2.1. Случай вещественной оси

2.2., Задача Римана:на гладком замкнутом контуре в пространстве

2.3.. Корректная постановка задачи на окружности

2.4. Случай произвольного замкнутого контура

3. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ

3.1. Решение двумерных элементарных задач

3.2. Корректная постановка одной двумерной задачи. . 93 ПРИЛОЖЕНИЕ. Теплицевы матрицы, составленные из
коэффициентов Фурье функций с разрывом
почти-периодического типа
ЛИТЕРАТУРА

Пусть Г* - замкнутый простой гладкий ориентированный кон-тур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на два открытых множества Гг и Гг , для каждого из которых Г является границей. Через Гр обозначим множество, которое находится слева от контура Г . В дальнейшем ради простоты будем предполагать, что
точка 2 = 0 £ Рр и 2 = ею £ .
На контуре Г рассматривается краевая задача Римана
Т+Ц) + а 0=) ЧП1) = |(б, -и Г /I
где 0.(1:) , £(1) - заданные на Г функции, Ч>+ и Н5' граничные значения на Г слева и соответственно справа искомой функции голоморфной на плоскости, разрезанной вдоль кривой Г
Идея конструктивного решения задачи /I/, в ограничительных предположениях относительно функции о и) и f(Ь), с помощью интеграла типа Копи была высказана Т.Карлеманом [бб] ещё в 1922 году, а полное решение задачи в пространстве Мд*(Г) гельдеровских функций было дано Ф.Д.Раховым [б] в 1937 году в предположении, что О (-О €■ М^(Г) > аЩФО. £ б Г • После этого были проведены её
многочисленные исследования с целью ослабления требований, предъявляемых к коэффициентам задачи /I/. Обзор этих работ содержится в монографиях [б] , [з8] , [б2], [14], [19], [зф], [зб]
Основной результат при решении задачи /I/ состоит в том, что при [ Огс| аЮ]г>0 задача разрешима при любой правой части, а её решение зависит от произвольных комплексных постоянных; при 36<0 задача всегда имеет единственное решение в случае её разрешимости, а условиями разрешимости являются I ае,| ус-

ловий ортогональности правой части некоторым элементам сопряженного пространства.
Зависимость числа решений от приращения аргумента функции Gt(t) отчетливо подтвердилась в работах Н.В.Говорова [7] , [в], [9] , его учеников [з] , [48] , [49] и последователей [бо] ,
[51] , [45] , [I] , появившихся в печати, начиная с I9G4 года, в которых была рассмотрена краевая задача Римана на луче или прямой с бесконечным индексом. В этой задаче приращение curcjaii) при об ходе контура Г равноtoo . Она была исследована при различном асимптотическом поведении функции аг^а(t), При этом основное свойство задачи Д/ состоит в том, что в случае "плюс-беоконечного" индекса однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоднородная разрешима при любой правой части. В случае же "минус-беоконечного" индекса однородная задача имеет единственное решение, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного числа условии ортогональности правой части. Фактически при этом изучалась задача Римана с коэффициентом ot(-fc) , имеющим на бесконечности специальный разрыв второго рода, и её решение разыскивалось в классе ограниченных функций.
В 1968 году И.Ц.Гохбергом и И.А.Фельдманом [п] был рассмотрен интегрально-разностный оператор Винера-Хопфа..Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в теории интегральных уравнений типа свертки появились вопросы, связанные с бесконечным индексом /см. также[бб]/. Оказалось, что указанный оператор Винера-Хопфа является односторонне обратимым в Lp(q о«) , но его ядро или коядро зависят, вообще говоря, от подпространства Ц>[о,б] . Это явление связано с тем, что символ оператора имеет в бесконечно удаленной точке разрыв второго рода

Так как элементы второй строки определителя /2.1.16/ представлены, в виде суммы двух слагаемых, то определитель представляется в виде суммы двух определителей, второй из которых равен нулю в силу пропорциональности строк. Элементы третьей строки представляются в виде суммы трёх слагаемых / после применения формулы Лейбница/и, следовательно, определитель равен сумме трёх определителей, последние два из которых равны нулю в силу пропорциональности строк. Предположим, что к строк нового определителя имеют элементы вида
(зе+п-о иН —
(2+0 , ^ «Н,ае.
Тогда
Г , .ХІ^Чг , хк-1 (к>1{3е) V Гт ”Сг .к-|е<-тЛ(э^
ск+ч,Па.-(ос+0 і = 1[а,(х+0 ] ] =2. С(<а; і
Л 0 6 п-о О
'С лт. г Л (т+б)г . .V і(К-т + Эе-
= 2. С* I С* о. [ (х-ыУ]
т=о 5 =о А
(26)
- 0,- к! (с° с+ с; с:-' - С С2 ♦... С сг)+
+ с|<сг*... СГ’О...+
Сае+к-0 к.4 /лН/,в г к г ж-Л , . ч к
•+ а- (ос+0 гс 1СК С ж + Ч Сж ) 4 0) Сас+с)
Таким образом, определитель разбивается на сумму К+-1 определителей, из которых все, кроме одного, равны нулю. В полученном определителе
^ (ЭЕ+К) к
^к+М’ ~ .
Таким образом,