Конформные отображения канонических областей на области с симметрией

• Автор: Колесников, Иван Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Вспомогательные результаты

§1. Конформное отображение на круговые многоугольники

§2. Дифференциальные уравнения класса Фукса

§3. Конформное отображение на многоугольники с границей из прямолинейных отрезков. Принцип симметрии

§4. Эллиптические интегралы

Глава 2. Конформное отображение полуплоскости на круговой счетпоугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси

§1. Аналитическое продолжение отображения с симметрией переноса

§2. Уравнение для отображения с симметрией переноса

§3. Пример
Глава 3. Конформные отображения на области с двойной симметрией
§1. Уравнение Шварца для отображения на круговой счетноуголь-
ник с двойной симметрией
§2. Пример
§3. Интеграл Кристоффеля-Шварца для отображения на счетно-
угольник с двойной симметрией
§4. Примеры
§5. Конформное отображение единичного круга на круговой
2п-угольник с п-кратной симметрией вращения и с дополнительной зеркальной симметрией
Глава 4. Определение акцессорных параметров в интеграле Кри-

етоффеля-ПІварца для отображения верхней полуплоскости на счетноуголышк с симметрией переноса вдоль вещественной оси
§1. О сходимости семейства отображений с граничной нормировкой .
§2. Конформное отображение полуплоскости на счетноуголышк с
симметрией переноса
§3. Конформное отображение полуплоскости на счетноуголышк с
двойной симметрией
§4. Пример
Литература
Приложение А. Каталог отображений
Приложение Б. Комплексная графика в Маріє

Введение
Впервые вопрос о конформном отображении одной области комплексной плоскости на другую был выдвинут Б. Риманом в 1851 г. в его диссертации [44], ставший основополагающим для дальнейших исследований в теории голоморфных функций. На ряду с прочими результатами была сформулирована знаменитая теорема о конформном изоморфизме односвязных областей. Направления теории функций, берущие свое начало от работы Римана, объединяются в настоящее время в весомый раздел геометрической теории функций комплексного переменного.
В 1867 г. Э. Кристоффелем и независимо в 1869 г. Г.А. Шварцем было получено интегральное представление [3| отображений верхней полуплоскости на односвязные области, граница которых состоит из прямолинейных отрезков. В работах Г.А. Шварца содержится обобщение на случай криволинейной границы и круговых многоугольников, с акцентом на нахождение конформных отображений круговых треугольников и четырехугольников, а также сформулирован принцип симметрии, часто используемый при построении конформных отображений. Нахождение конформных отображений с помощью интеграла Кри-стоффеля-Шварца стало широко использоваться при решении задач: о потоке жидкости в области ограниченной многоугольником, свободного обтекания, о плоских упругих системах, теории фильтрации, теории теплопроводности, теории электромагнитного поля.
Аналитические и численные методы нахождения конформных отображений развивались параллельно с начала XX века. В 60-х годах, с появлением компьютеров, стали активно развиваться численные методы. В работах В.В. Соболева [20]. 1471, [48], |49| предложен численный метод построения конформных отображений различных областей. Один из успешных численных методов разработал L.N. Trefethen |87], реализуемый математическим пакетом SCPACK, который позднее был адаптирован Т.A. Driscoll [62] для пакета MATLAB. В

жащую із верхней полуплоскости Ші-плоскости часть окрестности точки ноль. Функция сщф) = а>і(ш(/ф))) взаимно однозначно и конформно отображает часть верхней полуплоскости г-плоскости на часть верхней полуплоскости Ш|-плоскости, причем участок вещественной оси в окрестности точки а переходит в участок вещественной оси в окрестности точки сої = 0. Функция оцф) согласно принципу симметрии продолжается на полную окрестность точки а и, являясь голоморфной функцией, представляется рядом
со, (г) = у% - О + у^ф - аГ)2 + ..., у? ф 0., (2.3)
с ненулевым радиусом сходимости. В этом ряду отсутствует свободный член, так как софа) = 0. однако у^ — софа) ф 0, так как функция осуществляет конформное отображение. Поскольку при вещественных г вблизи точки г = а функция ацф) вещественна, все коэффициенты у^ — вещественны.
Возвращаясь к функции соф) = (сщф))"*', находим, что в окрестности а функция соф) представима в виде
шф) = ф - аф)“‘
сок) + сіг ~ ак)
Отсюда можно получить разложение для функции {/(г), г} в окрестности 'точки а, если учесть, что в силу замечания 1.1 {/, г} = {со, г}. Тогда получим
причем коэффициенты д)? вещественны. Выделим главную часть разложения

производной Шварца в ряд Лорана по степеням г — а. Обозначив Цд = М&.
-|- ЦДг — а) + ... = ф), имеем
= + (24)
где Мк — вещественный параметр, й^ф) — голоморфная функция в окрестности точки аф.