Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях

• Автор: Халова, Виктория Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 123 с.

Глава 1. Резольвенты простейших операторов и их свойства

4 § 1. Обращение конечномерного возмущения простейшего

интегрального оператора А0

§ 2. Построение резольвенты простейшего дифференциальноразностного оператора Ь0

§ 3. Свойства резольвенты оператора Ь0

§ 4. Резольвента дифференциально-разностного оператора

и ее свойства

щ § 5. Резольвента Фредгольма оператора А0 и ее свойства

Глава 2. Теоремы равносходимости

§ 1. Теоремы равносходимости для оператора А0

§ 2. Теорема равносходимости для оператора А

Глава 3. Суммируемость по Риссу спектральных разложений
операторов А0 и А
Список литературы

Спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений. Так, например, данная теория традиционно применяется в граничных задачах математической физики, квантовой механике, в обратной задаче спектрального анализа и т.п. Исследования в этой области предполагают изучение вопросов обращения указанных операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, расположения спектра, суммируемости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.), равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, базисности, полноты системы из с.п.ф. и т.п.
Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по с.п.ф. конечномерных возмущений интегральных операторов, некоторая производная ядра которых имеет разрыв на диагоналях, и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также вопросу суммируемости обобщенных средних Рисса этого класса операторов.
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаа-ра [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] для дифференциального оператора
произвольного порядка

Ы = У{п) + ^2рк{х)у{к Рк(х) £ С[О,1], (0.1)

с произвольными краевыми условиями

C,yfe) = EM(‘)(°) + W‘)(l)] = 0, J'= 1,(0.2)

удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных ИЗ коэффициентов при старших производных В Uj(y) (после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66)). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя.
Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина1.
Теорема. Для оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями (0.2) существует такая последовательность номеров {к{, что для всякой f(x) € L[0,1] и любого 5 £ (0,1/2)
lim ||Skl{f) - ai(f)\c[s,i-s = 0, (0.3)
г—»oo
где Sk(f) и (Jk{f) ~ частичные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).
Развитию спектральной теории операторов послужили многочисленные работы В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]). Он разработал новый метод получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций.
Теорема равносходимости для интегрального оператора впервые
была получена А.П. Хромовым [10]. Рассматривая оператор
Af = J A(x,t)f(t) dt, он ввел следующие требования на ядро A(x,t): о
JB [5] М. Стоуном получен схожий результат при рк(х) € £[0,1].
(1.88)
Учитывая, что, с одной стороны, г(х, А) = и(х, А) — и(х, А), а с другой -г(х,) = (Ух(х, А),... ,Уп(х,))С, получаем
Отсюда с учетом (1.88) следует утверждение леммы. Лемма доказана. □
Лемма 18. Если А таково, что решение и(х) = и(х, А) краевой задачи (1.79)-(1.80) существует, то имеет место формула
где (щ(х,), П2(х, А) - компоненты вектора и(х,), определлмого леммой 17.
Доказательство. По лемме 15 имеем Л^дДж) = гх(х), а по лемме 16 - г(х) = Гм(ж). Следовательно, Л1)л/(ж) = щ(х,Х) + иДх, А). Лемма доказана. □
Лемма 19. Пусть 0 ф 0. Для определителя матрицы ДДА) при |р| —> оо справедлива следующая асимптотическая формула
и(х, А) = ь(х, А) + (Ух(т,А),... ,Уп(х, ))С.
#1,а/(я) = + и2(х,)
/ 1 1
/ р](Д)с1рик<11 / (рД1)е1рШк<1,(П
У* = -

е« / щ{*)е~1рШксИ
о о