Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Rn

• Автор: Федотова, Полина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 118 с.

Основные обозначения и определения Введение

Глава 1. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах
1.1. Свойства одного класса замкнутых выпуклых множеств в Rn (18). 1.2. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (21). 1.3. Описание пространства S*(U) в терминах преобразования Фурье-Лапласа (24). 1.4. Пространство Gm(U) и сопряжённое к нему (27).
Глава 2. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в Rn, допускающих голоморфное продолжение вС"

2.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (68).

2.2. Вспомогательные результаты (70). 2.3. Эквивалентное описание пространства См(П)(73). 2.4, Пространство Gm{U) и сопряжённое к нему (78). 2.5. О сопряженном к пространству E(U) (96)
Глава 3. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста на бесконечности и вблизи границы конуса

3.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (98).

3.2. Полнота полиномов в £Д.Г)(100).

Глава 4. Приложения

4.1. Дифференциальные операторы в пространстве Gm(U) (108).
Дополнения
Список литературы
в R" и сопряжённые к ним

Основные обозначения и определения
Сп - п - мерное комплексное пространство точек г: = (гх гп), е С 0'
К" - п - мерное вещественное пространство точек X = (х,. . . ,Хп), X] 6 К 0’
Точку г = (гь ..., г„), где г, = х, +гу^, ж/, %• € М, у = 1 п, будет записывать в виде г = ж + гу, где х = (ц жп), у = (у уп). При этом х = Не г - вещественная часть г, у = 1т г — мнимая часть 2.
Для и = V = (VI Уп) € Сп(Мп) полагаем (и, у)
ЩЩ + ■ • ■ + ипьп, ||и|| = ^/|И]|2 н и |и„|2.
Для г > 0 пусть В, ={(68": [|£|[ < г}, ВТ - внешность шара Вт в
К".
Для | € КП(С"), г > 0 5(£, г) = {и е К"(СП) : ||« - С|| < г} -открытый шар в ЕП(СП) радиуса г с центром в точке С £ КП(<СП).
Если X - некоторое топологическое пространство, а А - его подмножество, то символом д А обозначается граница множества А, А — замыкание А, гпЬА - внутренность А.
Для мультииндекса а = (ац ап) £ используются следующие сокращения: |а| = а + ■ ■ ■ + ап, а! = аД ... ап, га = г"1 ... г“" (г
(>],•••,гп) € С"), ха = ж“‘ .. .ж“п (ж = (х1 хп) £ К71),
ЯН ЯН
И01 = Оа =
Зж“1 • • • Зж£п ’ 2 3^1 ■ • • дг%п'
Для локально выпуклого пространства X через X' обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов па X, через X* сильное сопряжённое пространство.
Для открытого множества П в Сп Я(П) - совокупность функций, голоморфных в О., р5/г(П) - совокупность функций, плюрисубгармони-ческих в Г2.
С последовательностью Ь = ( !-к)'^=а положительных чисел Дь с Ьо

таких, что lim —-— = +00, будем ассоциировать функцию
к—>оо к
<рк
Шь ■ uL{r) = sup In — Г > 0, 0) = 0.
Для выбранной последовательности (ет)“=1 положительных чисел £т, убывающей к нулю, для краткости обозначаем через шт(г), г > 0.
Конусом в К" называется множество С, обладающее тем свойством, что, если х Є С, то и Аж Є С при всех Л > 0. Через С обозначим замыкание конуса С, через ргС - пересечение конуса С с единичной сферой. Конус С называется компактным в конусе С, если ргС компактно содержится в ргС. Конус С* = {£ :< £, х >> 0, 'іх Є С} называется сопряженным к конусу С.
Если С - конус в Ж", то Тс = Шп + іС - трубчатая область.
Если S] С 1" (И С С"), то расстояние от точки і £ К" (z £ Сп) до множества ГІ обозначим через dn(x)(dn(z)), расстояние от точки х Є £2 (z Є О) до границы множества Q обозначим через Дп(т)(Дц(г)).
Опорную функциию Но произвольного множества D в Ш.п определим по формуле: HD(y) = sup(€Z>(- ), у & Mn.
Преобразование Юнга функции ip : Rn —> R такой, что lim -т:—— = +оо определяется по формуле
х-^оо ||т||
<р*(х) = sup ((ж, у) - ip(y)), X Є К", г/єи»
Пространство, представимое в виде проективного предела последовательности нормированных пространств Sn, п Є N, относительно линейных непрерывных отображений gmn : Sn —> Sm, т < п, таких, что дп,п+1 вполне непрерывны для каждого п, называется пространством (М*).
Локально выпуклое пространство, представимое в виде внутреннего индуктивного предела регулярной последовательности нормированных пространств, называется пространством (LN*).

оценке
Г{г) < се6(!')+ы'"(||г||) ^1 + • (1.4.17)
Покажем, что найдется функционал Т 6 См(и) такой, что Т = Т. Напомним, что через [ |/Г(гг)|2е-2(!>(5'Ни'т(|Р||)+т1П(1+3^)+(г.+1)1л(1+|Р|р)) Лп{г) < ОО. (1.4.18)
■)тс
Пусть К = Кп х С. Положим в теореме И (с заменой п на 2п) П = = П2 = К2п + гК. Заметим, что П = Пх = П2 = Сп х Тс. Так как К -выпуклая область в Ж2", то М2"-Н’А' - область голоморфности. В качестве линейного подпространства в этой теореме рассмотрим подпространство
1Т = {(г,0€С2": *
в С2" комплексной размерности п. Тогда Р.' = — <Л'2 = (г 6 С" :
(г, г) € П = Сп х Тс} = Тс- Далее, в теореме й, в качестве е возьмем 1, а в качестве <р функцию
= 2(Ь(/7п£) + шт(||г||) + т1п(1 + —^у) + (п + 1) 1п(1 + ||(г,£)||2)),
где г = х + гу 6 С", £ € Тс- Отмстим, что <р(г, £) плюрисубгармонична в Сп х Тс и
^(г) = 2(Ь(у) + сдт(Цг||) + т1п(1 + —!-у) + (п + 1) 1п(1 + 2||г||2)), г е Тс. Ввиду (1.4.18)
[ |Т(г)|2е-^ <1А„(г) < оо.
■>тс
По теореме Роевера существует функция Ф € II (СГ‘ х Тс) такая, что
Ф(д, г) = Т(г) для г 6 Тс и при некотором В > О
/ + в/ №12е~*ж) «**»(*). ■/с»хГс (1 + 11(2,011 )3п 1тс