Комплексные дифференциальные системы и касательные уравнения Коши-Римана

• Автор: Абросимов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 c. : ил

Глава I. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ИНВОЖЯИВНЫХ КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Полный ранг комплексных дифференциальных

систем

§ 3. Комплексный ранг дифференциальных систем

§ 4. Канонический вид инволютивных комплексных

дифференциальных систем.

Вполне интегрируемые системы

Глава 2. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА вЯ-тЩЖ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Предварительные сведения

§ 2. (С-интегральное многообразие вполне интегрируемой системы и его локальная структура
§ 3. Теорема о локальном расслоении
§ 4. Локальные свойства 6Я -функций и решений
систем комплексных дифференциальных уравнений

Глава 3. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ ДИсШРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ I. Предварительные сведения
§ 2. Условие Нагумо и его обобщение
§ 3. Системы с вполне интегрируемыми
подсистемами
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

В современном многомерном комплексном анализе важное место занимает изучение следов голоморфных функций на вещественных подмногообразияхJLкомплексных многообразий,или,общее, функций на М., для которых производные по направлениям, сопряженных к комплексным касательным,равны нулю (функции Коши -Римана,или,короче, G$t -функции) .Содержательная теория таких функций развивается на многообразиях,у которых размерность комплексной касательной плоскости постоянна,так называемых 6Я -многообразиях.Развитие этой,так называемой б Я-теории,в последние десятилетия связано с проникновением в комплексный анализ геометрических методов и методов теории дифференциальных уравнений.
Начало £Я -теории,по-видимощу,восходит к Г.Леви (1956 г). Большая заслуга в развитии этой теории принадлежит таким математикам,как С.Хилл,А.Андреотти,Л.Хант,Р.Уэллс,Г.М.Хенкин, Е.М.ЧиркаД.Ниренберг и т.д. Существенную роль в 6Я -теории сыграли теорема Гринфилда [24] о £ $-расширениях и теорема Баоэнди - Трева [25] о вЯ-аппроксимациях.
Выло давно замечено ( например,Г.Леви [ 23] ,А.Андреотти -С.Хилл [29]) ,что некоторые комплексные дифференциальные системы после подходящего преобразования координат принимают вид, аналогичный тому,в котором можно локально записать касательную систему Коши-Римана ( (^-систему) .Исследование связи произвольных комплексных дифференциальных систем с £ Я -системами оказывается полезным для развития как соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений,так и £Я -теории.
Отметим,что взаимосвязь произвольных гладких комплексных дифференциальных систем с 6Я-системами существенно зависит
Полагая для,получаем,что условия 62.1.5) и
(2.1.6) эквивалентны. ►
Замечай, и е.Из доказательства этого предложения следует,что касательные уравнения Коши-Римана на гладком порождающем многообразии ЛсСп вещественной размерности (Пуп локально можно записать в виде (2.1.8);при этом поляГы Ьт-п -образуют локальный базис в %С(Л1) и,следовательно, ей Ш -И.
Определение 2.4. Следуя Гринфилду ( см. [24], [9]), мы будем называть системой Леви достаточно гладкого £Я. -многообразия М (например) инволютивную комплексную дифференциальную систему»полученную ИЗ полей с п0_
мощью операций комплексного сопряжения,образования О -линейных комбинаций и скобок Пуассона;т.е:.,согласно определению 1.8, можно сказать,что)£ЦЛ) есть система Леви для системы (или,
что то же самое,для системы %С(Л) ) .Избыточной размерностью -многообразия«/# называется число
е(Л)= Ьамк а£(Л)- % вЯсктЛ.
Из вида полей (2.1.8) следует очевидное неравенство
О ^ е(М) < т.~£(т-п) = к = &ЛгтК ЛП р: и м е р 2.1.Пусть П^З , т =4 и многообразие Ж есть плоскость вС3^^,^}: .В качестве функций,определяющих Л ,возьмем следующие:
# = &
Тогда яр* =«^-/и ^А Э/?г = -^с/^ Ас(^ .Следовательно Эр* с1%1 Ло1%£ ; поэтому„# - порождающее
многообразие.Запишем касательные уравнения Коши-Еимана вида