Колмогоровские поперечники геометрических конфигураций и функциональных компактов в гильбертовых пространствах

• Автор: Усков, Кирилл Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение
1. Понятие п-поперечника по А. Н. Колмогорову
2. Методы исследования п-поперечников
3. Компактные множества, исследованные в работе
4. Результаты исследований
1. Поперечники геометрических конфигураций
1. О нахождении точного значения колмогоровских
поперечников компакта в гильбертовом пространстве
1.1. Интегральные оценки поперечников сІп(К, Н)
1.2. Колмогоровские поперечники набора равноотстоя-
щих точек в вещественном гильбертовом пространстве
1.3. Вычисление 1-поперечника спирали Винера
2. Один частный случай задачи о поперечниках набора
равноотстоящих точек в комплексном гильбертовом пространстве
2.1. Наборы равноотстоящих точек в комплексном
гильбертовом пространстве
2.2. Поперечники набора Гдг(і?) с циклической
корреляционной матрицей
2.3. Наборы і'з(Д) и их поперечники
3. Поперечники множеств, связанных с процессом Леви
3.1. Множества, связанные с процессом Леви

3.2. Слабая асимптотика поперечников dn[ip(Km), Н) . .
3.3. О точном значении те-поперечников
множеств (р(К) и W
3.4. О приближенном значении те-поперечников множеств 2. Поперечники ограничения некоторых некомпактных функциональных классов на единичную окружность
1. Леммы о коэффициентах Фурье
2. Доказательство теорем об асимптотике
n-поперечников множеств Mi(Lm)si и M2(Lm )ls*
3. Об асимптотике n-поперечников одного класса компактных множеств в пространстве ^(R)
1. Достаточные условия компактности множества Sa$
2. Производящая функция те-поперечников компакта Sa,b . .
3. Асимптотика n-поперечников компакта Sa,b
Заключение
Приложения
A. Особые случаи задачи о поперечниках dn(Xдг, Я)
Б. Лемма об осцилляции
B. Оптимальная мера и соответствующие
собственные функции интегрального оператора
Библиографический список использованной литературы

Введение
1. Понятие п-поперечника по А. Н. Колмогорову
1 Теория поперечников является сравнительно новым разделом теории приближений, сформировавшимся в середине пятидесятых годов прошлого века. Возникновению теории поперечников предшествовали два этапа классической теории приближений. Кратко опишем задачи и результаты этих этапов.
Начало первого этапа принято связывать с работами П. Л. Чебышева 1853 и 1857 г.г.. Чебышев ввел понятие наименее уклоняющихся от заданной функции алгебраических многочленов и рациональных дробей, вычислил величины наилучшего приближения некоторых функций и нашел сами многочлены наилучшего приближения. Основная задача первого этапа - приближение конкретных функций при помощи многочленов или рациональных дробей. Исследованиям П. Л. Чебышева предшествовал ряд работ математиков 18-го и начала 19-го веков по отдельным вопросам приближения функций.
В 1885 г. был получен положительный ответ на вопрос о возможности аппроксимировать с любой заданной точностью непрерывную на отрезке функцию при помощи алгебраических и тригонометрических полиномов. С появлением теорем К. Вейерштрасса возникла общая проблема: как по свойствам функции узнать, с какой скоростью функция приближается полиномами. Результаты, полученные С. Н. Бернштейном и Д. Джек-
1 Данный раздел содержит сведения из обзоров по теории приближений и теории поперечников из монографий В. М. Тихомирова ([26]) и К. И. Бабенко ([2]).

Поперечники геометрических конфигураций

для всех k,j = l,...,N,- покажем, что выполняется равенство:
B = ‘~hM+M' (21)
где / - единичная матрица, М - матрица, все элементы которой равны единице, R - вещественная кососимметрическая матрица такая, что
Rki + Rki + • • • + Run — 0, k = 1,..., IV; (2-2)
ifRl> J^|£i + 6 + .. • + 6v|2-ifrî, (ec". (2.3)
Действительно, положим А = Re(ß), тогда условие || Д — fj\ = 1, к ф j, равносильно следующим равенствам: Akk + Ajj ~ 2Afcj = 1 Для любых k,j = 1,... N, к Ф j. Суммируя равенства при фиксированном к по всем j ф к и, учитывая, что Аы + ... + /W = 0 (это, очевидно, следует из условия /i + .. . + /jv = Од), получаем: Akk = 1/2— 1/(2N), к = 1,..., N, и, следовательно, Akj = —1/(2N), к ф j. Таким образом, доказано, что
Re(ß) = h- ~М. v ' 2 2 N
Далее, положим R = Im(B). Тогда из свойств скалярного произведения и условия fi -f... + /дг = Од следует, что R - кососимметрическая матрица, удовлетворяющая равенствам (2.2). Неравенства (2.3) равносильны условию неотрицательной определенности корреляционной матрицы В.
Итак, доказано, что корреляционная матрица набора Дт определяется равенством (2.1). Верно и обратное: любая вещественная кососимметрическая матрица R, удовлетворяющая условиям (2.2, 2.3), задает по формуле (2.1) корреляционную матрицу набора (и, следовательно, -сам набор) точек с попарными расстояниями, равными единице, и центром тяжести, совпадающим с Од. Таким образом, совокупность всех наборов Fh отождествляется с совокупностью вещественных кососимметрических матриц R, обладающих свойствами (2.2, 2.3). Набор Ду, заданный матрицей R, далее будем обозначать через Ду(Д).