Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация

• Автор: Давыдкин, Иван Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Горно-Алтайск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

• Глава 1. Квазилинейные отображения со свободными границами

§1. Задачи типа фильтрации

1°. Постановка задачи

2°. Система уравнений для параметров

3°. Априорные оценки

4°. Локальная единственность решений

5°. Метод непрерывности

6°. Сходимость циклического метода непрерывности

§2. Граничные свойства конформных и квазиконформных отображений

1°. Вспомогательные сведения

2°. Гельдеровская непрерывность решения задачи (1) §1

3°. Граничные свойства квазиконформных отображений
3.1°. Регулярность квазиконформных отображений областей с ляпуновской границей
3.2°. Поведение квазиконформного отображения в угловой точке
§3. Граничные данные из С“
§4. Квазилинейные отображения со свободной границей
1°. Задача для квазилинейного уравнения
2°. Разрешимость задачи (1), (2)
3°. Оценки на границе
§5. Квазиконформное распрямление границ
1°. Вспомогательные сведения
2°. Постановка задачи
3°. Функция ,ф(х,у) в прямоугольнике

3.1°. Оценка с(у) снизу
3.2°. Оценка с'{у) сверху
3.3°. Оценки производных функции ф(х,у)
4°. Функция фо(х,у)
5°. Локальный гомеоморфизм
6°. Построение общего гомеоморфизма
7°. Применение в гидродинамике
8°. Примеры построения
§6. Геометрические свойства итерационных процессов
1°. Постановка задачи
2°. Выпуклые оболочки
3°. Оценка размеров выпуклых оболочек
Глава 2. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах
§1. Постановка задачи
1°. Нелинейные уравнения [22]
2°. Уравнения фильтрации жидкости со свободными границами [25]
3°. Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41]
§2. Регуляризация задачи. Априорные оценки
1°. Вспомогательные сведения [21, гл.VI]
2°. Регуляризация задачи
§3. Разрешимость задачи
Глава 3. Приложения и расчеты
§1. Гидродинамический анализ результатов
§2. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения
1°. Постановка задачи. Функциональные уравнения
2°. Деформация простых полигонов
3°. Сходимость метода циклической итерации
4°. Аппроксимация оператора
5°. Оценка погрешности аппроксимации
6е. Сходимость численного метода циклической итерации
7°. Алгоритмы численных расчетов
8°. Тесты
8.1°. Один цикл деформации
8.2°. Деформация полигонов
9°. Сравнительный расчет
10°. Расчет физического объекта
§3. Численное решение задачи фильтрации жидкости со свободными границами
Ф 1°. Предварительные сведения
1.1°. Постановка задачи
1.2°. Эквивалентное уравнение для вектора и = (щ ип)
1.3°. Аппроксимация одномерных интегралов
1.4°. Аппроксимация оператора
1.5°. Земляная плотина на непроницаемом основании с горизонтальным
дренажем
2°. Алгоритмы вычислений
2.1°. Алгоритм вычисления интеграла /і(и,р)
2.2°. Алгоритм вычисления интеграла Мк(0), к = 2,п
2.3°. Алгоритм вычисления интегралов /*(и,р), к — 2, п
2.4°. Алгоритм вычисления расхода <2
2.5°. Общий алгоритм
3°. Расчеты
3.1°. Тесты
3.2°. Пример
§4. Численная реализация квазиконформного распрямления границ
1°. Построение сетки
2°. Преобразование сетки
3°. Построение обратного отображения
4°. Расчеты
5°. Преобразование эллиптического уравнения
Заключение
Литература

Ос(0) = 0, Ос(1) = 1. Используя условие Ьк 6 С1+а, выберем длину отрезка гк — Zfc-.il достаточно малой, чтобы угол наклона касательной к Ьк мало отличался от угла наклона секущей Ьк,о, т.е.
Iarg(2 )t ~ arg(zfc - zk-1)|
arg-
(**){
Zk Zk
< Є
Отметим, что
(**)'
Zk - Zk-!
— касательная к кривой Lk- При этом
(zk):

I Zk
поскольку длина Lk > zk — zk-\ = |£цо|- Отсюда сразу следует, что £'к > 0, г]'кЦ'к < tg£ < £ (для простоты сохраним для малого г то же обозначение),
^Q2 = &2 + Wk2<(Qi + e2),
т.е. £'к ^ const > 0. Это означает, что в качестве параметра для кривой Ьк можно взять х = ffc(t) € [0,1], т.е. кривая Lk однозначно проектируется на отрезок £0 = [0,1], а, соответственно, кривая Lk — на отрезок Lktо- Тогда уравнение кривой Ьк примет вид
w = х + ifk{х), х € [0,1]; fk{x) = r)k{tk(х)), где £k(tk(x)) = х;
причем fk{x) = rj'klik < £- Отсюда, в частности, следует, что при фиксированном 6 можно выбрать |zk — zk~i достаточно малым так, чтобы кривая Ьк не пересекала границ области Vk (как на рис. 3), а, соответственно, кривая Lk — границ Vk■ Значит кривые Ьк, Ьк разбивают области Vk, Vk на две связные части — внутреннюю
Vk = Vk П { w - x + гу | у ^ 0 } , 1ф+ = Vk П (D U L)
и внешнюю Vk = Vk Vk, VfT = Vk Vk. Заметим, что область Vk ограничена отрезками Lk[о и кривой Ьк соответственно область Vk ограничена отрезками
Щк_i)+i Hki, и кривой Ьк- Наконец далее через V£0 будем обозначать трапецию,
ограниченную отрезками Н^к_ц+, Нк1, и Ln; соответственно через Vk 0 — трапецию, ограничеиую отрезками H^ks_^+, Hkl, Lk50 и Ьк}о (рис. 3). Очевидно имеем
ВД±) = П±, uk(vk%) = vk%. (3)
Далее будем обозначаті,