Интегральные операторы и пространства измеримых векторнозначных функций

• Автор: Бухвалов, Александр Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 293 c. : ил

Глава 0. Предварительные сведения

§1.Идеальные пространства измеримых функций

§2.Исчисление порядково ограниченных операторов

§3.Измеримые вектор-функции

Глава I. Интегральное представление операторов

§1.Критерий интегральной представимости линейных операторов 55 §2.Доказательство критерия интегральной представимости ... 72 §3.Приложения к представлению нелинейных интегральных

операторов Урысона

§4.Пространства со смешанной нормой и обобщённая теорема

Колмогорова - Нагумо

§5.Интегральное представление некоторых классов линейных

операторов
Глава II. Пространства измеримых вектор-функций
§1.Основные определения. Простейшие свойства
§2.Функционалы на пространствах вектор-функций
§3.Общие теоремы о непрерывности операторов в пространствах
вектор-функций
§4.Плотность конечнозначных функций в пространствах
вектор-функций
§5.Обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта
§6.0 выпуклых множествах, замкнутых относительно сходимости
по мере
§7.Свойство Радона - Никодима в пространстве Е(Х)

Глава III. Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-пункций и приложения к изучению пространств функций
многих переменных
§1.Комплексный метод интерполяции линейных операторов в
пространствах вектор-функций
§2.Другие методы интерполяции линейных операторов в
пространствах вектор-функций
§3.Интерполяция сублинейных операторов с приложениями к оценкам максимальных функций в пространствах со смешанной нормой
§4.Сингулярные интегральные операторы в пространствах
вектор-функций
§5.Приложения сингулярных интегральных операторов - базисы в пространствах измеримых вектор-функций; сопряжённое к
пространству Харди аналитических вектор-функции
§6.Пространства Соболева векторнозначных функций с приложениями к пространствам с доминирующей смешанной производной . . .225 §7.Изучение обобщённых пространств Бесова на основе пространств
измеримых вектор-функций
§8.Описание следов пространств Соболева
Литература

1°, Изучение интегральных операторов, т.е. операторов, действующих по формуле
где интеграл понимается в смысле Лебега, началось одновременно с возникновением функционального анализа (Вольтерра, Гильберт, Карлеман и др.). Тем не менее, задачи об описании их свойств и выявлении интегральных операторов в более общих совокупностях операторов остаются актуальными, что показывает поток журнальной и монографической литературы (отметим Красносельский и др.[г], Коротков [4,7] , Халмош и Сандер[г]). В недавней монографии Халмош и Сандер[г] пишут во введении (стр.УГ): "Почему мы изучаем интегральные операторы? ...возможный ответ заключается в том ..., что теория интегральных операторов является первопричиной всего современного функционального анализа и остаётся и сегодня богатым источником нетривиальных примеров. Основное внимание в книге уделено важнейшим связям, на которых основан предмет... Какие операторы могут быть представлены как интегральные операторы? -такие проблемы являются центральными..."
Пространства измеримых вектор-функций со значениями в (бесконечномерном) банаховом пространстве (БП) начали встречаться в математической литературе с начала 1930-х годов (Бохнер, И.М. Гельфанд, Данфорд, Л.В.Канторович, Филлипс). С тех пор пространства измеримых вектор-функций нашли себе применение во многих областях математического анализа и смежных дисциплин: в теории дифференциальных уравнении (см., например, Массера и Шефер[I], где при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в БП использованы пространства вектор-функций весьма общего вида;

что E. = {Ol (например, E = $(Qi))» но нас, конечно, будет интересовать случай, когда . Если E=ll (l£ps°°y>
то її = L? . По каждому можно построить линейный
функционал на Е по формуле
% ^(4 ^е. (н)
л | —
Из теоремы Лебега очевидно, что
Предложение 2.4. ([КА] , теорема ТІЛ Л). Формула (її) даёт общий вид (о)-непрерывного функционала на ИП Е . Отображение является линейным и порядковым изоморфизмом, т.е. ^ £-0 тогда и только тогда, когда Из теоремы 2.Ї легко вывести, что
Ч> (12)
Предложение 2.4 показывает, что Е. - это в точности
Ґ*
множество функционалов на Е , допускающих интегральное представление. Далее мы всегда отождествляем и Е , как это
обычно делается с (Ю и I? (ИР<~ ).
Предложение 2.5. Если Е - БИП, то £ = £ .
г—' Д»
Если L - БИП, то является (замкнутым) подпространством в Е =£^ , а Е можно отождествить с , поэтоf f—’
му на £ можно рассмотреть норму, индуцированную из £ :
{І I: ЕУ.
Оказывается, что Е , наделённое этой нормой, - БИП ([КА], теорема ТІ.1.2).
Предложение 2.6. ([КА], теорема ПД.5). Если L - БИП, то su^>pE-^pE и, тем самым, множество Е^ разделяет точки на Е
Предложение 2.7. ([КА], теорема УІ.Ї.4). Если Е -БИП, то £ -E.*. (т.е. любой непрерывный функционал допускает