К геометрии регулярных конусов в банаховых пространствах

• Автор: Коробова, Карина Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 89 с.

Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Конусы в векторных пространствах
1.2. Упорядоченные нормированные пространства
1.3. Различные виды ортогональности
1.4. Регулярные и строю регулярные конусы
1.5. Элементы теории приближений
1.6. Описание всех регулярных круглых конусов в пространстве /"
Глава 2. Геометрия регулярных конусов в пространствах 1" и
2.1. Круглый конус и конус Демарра-Красносельского
2.2. Описание множеств |Х|, Х+, X
2.3. Нахождение расстояния от элемента до конуса
2.4. Описание множества элементов наилучшего приближения
2.5. 11-орто1 опальная разложимость
Глава 3. О порядковой структуре абстрактного спин-фактора
3.1. Изучение конуса в абстрактном спин-факторе
3.2. Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу
3.3. Описание множеств |Х|, Х+, Х_, М(х)
3.4. Исследование множества Х+ П М(х)
3.5. К определению спин-фактора
Глава 4. Регулярные круглые конусы в пространстве ограниченных и непрерывных функций
4.1. Описание строго регулярного круглого конуса
4.2. Описание множеств |^|, Д+, Т*!
4.3. Определение расстояния от элемента до конуса
Литература

В настоящее время теория упорядоченных векторных пространств составляет важное математическое направление, фактически один из основных разделов современною функциональною анализа.
Честь выделения класса порядково полных векторных решеток принадлежит Л. В. Канторовичу. Работая над дескриптивной теорией функции вещественной переменной, Л. В. Канторович решил вводить дескрипцию с позиции функционального анализа. Однако в банаховых пространствах отсутствовало упорядочение. Тогда и возникла идея обогащения аппарата функционального анализа — введения пространств, в которых определено отношение порядка. В 1935 году была опубликована первая заметка Л. В. Канторовича о линейных полуупорядочен-ных пространствах в Докладах Академии наук СССР, в которой он писал: "В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одною общею класса (операции, значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функционалы". Выделенный Л. В. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов. Теория таких пространств — их называют теперь пространствами Канторовича или ^'-пространствами — стала одним из основных разделов функционального анализа.
В 1940 г. Л. В. Канторович приступил к подготовке итоговой монографии. Однако работа над этой монографией была завершена совместно с Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером лишь к концу 40-х годов. В книге «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (1950) впервые дается систематическое изложение теории К- пространств [24]. Она до сих пор является ценным пособием для специалистов в этой области.
С середины 1960-х гг на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупоря-

доменных пространств, который возглавлял Б. 3. Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Л. В. Канторовича. В конце семидесятых годов вышли две фундаментальные книги Б. 3. Вулиха [16], [17], в которых детально излагалась общая теория конусов в нормированных пространствах. В [16] рассмотрены нормированные пространства "с одним конусом", а более тонкие вопросы теории конусов приведены в [17].
Близкую к этому теорию пространств с конусами положительных элементов развил М. Г. Крейн и его ученики во главе с М. А. Красносельским. В книге [33] содержится сравнительно небольшое количество материала по теории конусов в банаховых пространствах, получившей значительное развитие в более поздние годы. В большом цикле работ М. А. Красносельского совместно с П. П. Забрейко, Е. А. Лифшицем, Ю. В. Покорным, А. В. Соболевым, В. Я. Стеценко ([34], [40]) в новых направлениях развивается теория М. Г. Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т.д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики.
Теория полуупорядоченных пространств интенсивно разрабатывалась и на Западе, где этих вопросов касались работы Гаррета Биркгофа, X. Фрейденталя, Дж. фон Неймана, Ф. Рисса.
Все рассматриваемые обычно в функциональном анализе пространства естественным образом подходят под определение полуупорядоченного пространства. Существенное отличие таких пространств состоит в том, что здесь приходится рассматривать две сходимости. В 1964 г. американский математик Р. Демарр [52] опубликовал теорему о том, что в любом нормированном пространстве можно ввести такое частичное упорядочение, при котором сходимость по упорядочению (о-сходимость) совпадает со сходимостью по норме (Ь-сходимостью). При этом, если исходное нормированное пространство полно, то но отношению к вводимому упорядочению оно оказывается дедекиндово полным. Однако детальный анализ книги М. А. Красносельского [33], вышедшей еще в 1962 г., показывает, что в существенной своей части теорема Демарра уже содержится в этой книге, хотя и не сформулирована явно. При этом теорема оказывается верной и при гораздо более общем способе введения упорядочения, чем у Демарра, что показано в статье Б. 3. Вулиха и И. Ф. Даниленко [18]. Там рассмотрен конус вида К = Ц^дАТ’’,

2.3. Нахождение расстояния от элемента до конуса
Приведем двойственное условие, характеризующее ближайшую к элементу х точку Рх, доказанное В. Т. Худаловым в [42].
Теорема 2.8. [42] Пусть Е+ — произвольный клин в нормированном пространстве Е и х Е Е — произвольный элемент такой, что х не принадлежит замыканию Е+. Для того, чтобы элемент Рх Е Е+ был ближайшим к х элементом клина Е+ необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал / Е Е*+ с нормой II/H = 1 такой, что f(Px) — 0, f(Px - х) = ||Рх — л||.
Следствием из этой теоремы является утверждение, устанавливающее зависимость между величиной рассюяния от элемента до конуса и разложением элемента на положительную и отрицательную метрические части.
Утверждение 2.1. [42] Пусть (Е,Е+) Е (91) и х ^ Е+. Элемент х+ Е Е+ является ближайшим к х элементом конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует } Е Е, II/H = 1, f(x+) = 0, f(x_) = ||®_Ц. В этом случае d(x,E+) = ||т_||.
Используя это утверждение, получим оценку величины расстояния от произвольного элемента пространства I" до конуса Ку
Теорема 2.9. Расстояние от произвольного элемента х пространства I" до конуса Kj определяется по формуле:
Доказательство. 1. Пусть элемент х принадлежит конусу К3, тогда d(x, Kj) — 0, а ближайшим элементом конуса является он сам.
2. Пусть элемент х принадлежит конусу —К}, т. е. —х3 > X. В этом случае очевидно d(x,Kj) = ||х||, а ближайшим элементом конуса является ноль.
3. Для дальнейшего доказательства рассмотрим конус К. Пусть Х = 0 и элемент х не принадлежит конусу ±К. Найдем функционал / Є К такой, что
В качестве такого функционала выберем / такой, что /(хі,Х2, ...,хп) = (1, — зіцпха — зі§птп). Для любого элемента конуса а Е К і справедтиво /(а)
0, если х принадлежит конусу К3;
11x11, если х принадлежит конусу —К3;
^21= і хк ~ xji если х 1,0 принадлежит конусам ±К3.
11/11 = 1, f{x+) = 0, /(ж_) = ||х_|[, где Х+ - = X, \х+ + T_|| = ||а:||.