Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах

• Автор: Мочалина, Екатерина Павловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

1 О некоторых условиях аналитической и й-мероморфной продолжимости функций

1.1 Аналитическая продолжимость некоторых функций из пространств Лебега Ьр[— 1; 1] и Смирнова ЕР(С) при р 6 (1; +оо)
1.2 к - мероморфное продолжение некоторых функций из пространств Харди Нр, 1 < р < оо
2 Приближения функций типа Маркова-Стилтьеса в некоторых пространствах Харди и равномерной метрике

2.1 Рациональные приближения функций типа Маркова-Стилтьеса

в пространствах Харди Нр, 0 < р <

2.2 Приближение посредством ортопроекции на подпространство рациональных функций с фиксированным знаменателем

2.3 Приближение в равномерной метрике на отрезке

2.4 Приближение функций типа Маркова-Стилтьеса в равномерной метрике на единичном круге

Список литературы

При каждом п Е Z+ символом Рп обозначим пространство полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше п. Наименьшее уклонение функции / € С[—1; 1] от подпространства Рп в равномерной метрике на отрезке [—1; 1] будем обозначать посредством En(f):
End) = inf II/ - s||c7[-l;l].
5cir n
В теории аппроксимаций большой интерес представляет тот случай, когда приближаемая функция / является аналитической на отрезке [-1;1], следовательно и в некоторой области, содержащей этот отрезок. С.Н.Бернштейн в 1912 году заметил, что при таких условиях на функцию / наименьшее уклонение En(f) убывает скорее, чем общий член некоторой геометрической прогрессии, доказал теорему во всей общности и, кроме того, вычислил асимптотические значения в некоторых случаях. А именно, пусть Эр - эллипс с фокусами в точках ±1 и суммой полуосей 1/р.
Теорема([2], [3]).Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы функция f(z) была аналитической на отрезке [—1; 1] и, оставаясь аналитической внутри эллипса Эр, имела особенности на Эр, заключается в том,
чтобы
lim у/En(f) = р < 1.
n-ioo
Обозначим посредством гП]к = {g/s : g Е Pn, s 6 Рк} совокупность рациональных функций порядка (п, к), причем считаем, что гп = гП)П. Для заданной функции / Е Lp[—1; 1] определим величины ее наименьших уклонений в Lp[— 1; 1] от Рп и гп как обычно:
Следующая теорема является аналогом приведенного выше результата С.Н. Бернштейна.
Теорема 1 .Если фиксировано число р Е (1; +оо) и для заданной функции f Е Lp[-1; 1] справедливо неравенство
lim dLvEn(f) - LpRn(f) = p< 1, (1)
n->00 V
то она аналитически продолжима в область, ограниченную Эр и на самом эллипсе Эр имеется хотя бы одна особая точка ее аналитического продолжения. Для любой функции / голоморфной внутри эллипса Эр, имеющей особенности на границе такой области, выполняется соотношение (1).
Пространство Харди Нр, р Е (0;+оо), образовано аналитическими в единичном круге D = {z : z < 1} функциями, удовлетворяющими условию
2тг Ур
^ J |/(ге^)|р dip <+оо.
о
Функции /, голоморфные и ограниченные в D, образуют пространство Я00 с нормой
||/||я« =sup|/(z)|
Для конкретного значения р Е (0;+оо], фиксированной функции f Е Нр и заданных целых неотрицательных чисел п и к определим величину наилучшего приближения / множеством rn)]i П Нр в пространстве Нр следующим равенством
HpRn>k(f) = ' inf р ||/ - г||яр.
г£гп,кПЯР
В случаях к = п и к = 0 будем использовать привычные обозначения ДРДЩ) = Я"Я„1П(Я, = Я^оУ).
A. JI. Левиным в 1969 году была доказана следующая Теорема([13]).Есля
"Йт" / H2En{f) - H2Rn{f) = р< I
п->
для некоторой функции f Е Я2, то она аналитически продолжается в круг радиуса 1/уф с центром в нуле.
X. М. Махмудов получил значительное усиление этого результата. Теорема([16]).Если задано число р Е (1;+оо) и функция / Е Нр, то условие
нш^/ярв„(/)-ярл.,(/) = р<1
П-УОО
обеспечивает возможность аналитического продолжения / в круг радиуса 1/р и на его границе у функции / имеется хотя бы одна особая точка.
Введем стандартные обозначения. Известная теорема К.Жордана утверждает, что каждая замкнутая жорданова кривая Г С С служит границей двух односвязных областей в С: int Г - ограниченная область и ext Г Э оо. Для спрямляемого пути Г посредством |Г| будет обозначаться его длина. Символом G обозначим односвязную ограниченную область со спрямляемой границей Г.
Определение . Пространство Смирнова EP(G) образует совокупность функций /, голоморфных в G и таких, что для каждой из них существует последовательность замкнутых жордановых спрямляемых кривых Гп(/) С G, n = 1,2, • • •, со свойствами:
НР = sup 0<г<1

будем иметь
тг/2
Jtecy f dtp _i ртгсу
r J J ipP r J 1-p
Поскольку мы рассматриваем случай р € (0; шения следует неравенство

*/2 _ 2тг /4CV
о 1-Рг )
), то в силу последнего соотноsup [ p(retlfi)pdtp < оо.
0<г<1J

Таким образом, согласно (2) обеспечивается принадлежность р пространству Нр, так как функция р представляет собой интеграл типа Коши-Стилтьеса, а следовательно голоморфна на D.
Проверим, что найдется такая рациональная функция г в гП)П, все полюсы которой лежат в СD и
ИД - Щнр ^ 4HpRn(p). (14)
Поскольку, согласно определению (3), величина HvRn{p) = inf ||Д — г||яр,
ге г„,„
то существует функция го = d/qo из класса гпп, такая что
|Ц2-го||я.^2Я"Лпй. (15)
Запишем знаменатель до рациональной функции го следующим образом:

qo{z) = П(1 - zkz),

где некоторые из чисел Zk могут оказаться равными нулю или совпадающими между собой. Если ни для одного значения к точка z. ф 0 и не лежит на единичной окружности Т, то в качестве искомой функции г берем го-Пусть на Т попали только точки z,--- ,zm, 1 ^ га ^ п, причем каждая такая точка выписана с учетом кратности соответствующего полюса го на единичной окружности Т. Для точки zs = elv> при s = 1,2,••• , га мы берем любую сходящуюся к ней по радиусу последовательность точек {zsj = Me^}£i, s = • ) mi лежащих внутри единичного круга. Тогда на
границе единичного круга имеет место оценка:
|1 - *s,iz ^ |1 - zsz при s = 1,2, • • • , га, I 6N я z еТ. (16)