Исследование устойчивости экстремалей функционала типа площади

• Автор: Полубоярова, Наталья Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 97 с.

Оглавление
Введение
1 Формулы первой и второй вариации
1.1 Предварительные сведения, обозначения и терминология
1.2 Первая и вторая вариация функционала
1.3 Выражение первой и второй вариаций в локальных координатах
2 Признаки устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей
2.1 Емкостный признак неустойчивости
2.2 Гауссово отображение экстремальных поверхностей
2.3 Признаки неустойчивости трубчатых поверхностей
3 Исследование устойчивости поверхностей вращения
3.1 Первая и вторая вариация п-мерной поверхности вращения
3.2 Уравнение экстремалей для поверхностей вращения, заданных графиком функции
3.3 Интегральный признак устойчивости поверхности вращения .
3.4 О р-минимальных поверхностях вращения
3.5 О-емкость для исследования поверхности вращения
Литература
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости экстремалей функционала типа площади
и имеет прикладное значение. В процессе развития теории капилярных поверхностей появились функционалы с нелинейной функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности, которые отличаются от функционалов объема, и потребовали дополнительного исследования для получения признаков устойчивости и неустойчивости. В частности, в монографии Р. Финна [46] рассматриваются вопросы устойчивости капилярных поверхностей, а в работе В. А. Саранина [42] изучается устойчивость так называемых магнитных жидкостей, которые приводят к рассмотрению функционалов вида
где Ф : Еп+1 х Мп+1 —► М - С2 - гладкая функция, в качестве потенциальной энергии соответствующей физической системы.
Подобные вопросы также тесно связаны и с физическими задачами о равновесии различных систем и описании их устойчивых и неустойчивых состояний. В большинстве случаев решение сводится к исследованию положительной определенности второй вариации специального функционала, связанного с потенциальной энергией системы. Примерами такого функционала являются функционалы, являющиеся линейной комбинаци-

ей функционала площади и функционала объема, что приводит к исследованию поверхностей постоянной средней кривизны, которые моделируют, например, равновесные состояния двух жидких сред.
В настоящее время достаточно полно подобные исследования проведены для одномерных функционалов и для функционала площади. Имеется широкий спектр работ, посвященных задаче об устойчивости минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах, в частности, A.A. Тужилина, Ю.А. Аминова, А.Т. Фоменко, В.М. Миклюко-ва, В.А. Клячина, В.Г. Ткачева, A.B. Погорелова, М. до Кармо, Ч.К. Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.
В дайной работе были объединены несколько подходов для получения наиболее полного и подробного исследования изучаемых поверхностей. Остановимся на этом немного подробнее. В диссертационной работе проведено исследование на устойчивость экстремальных поверхностей для более широкого класса функционалов, чем функционалы площади. Так как в постановке задачи интеграл с нелинейной весовой функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности. Для изучения устойчивости экстремальных поверхностей применены различные методы, например, емкостная техника, оценки площади образа гауссова отображения и прочие. Можно сказать, что в данной работе задачи, подобные тем, что решались в геометрии и вариационном исчислении (см., например, [2]), были решены методами теории функций комплексного переменного. Это позволило получить качественные и количественные характеристики устойчивых поверхностей, являющихся экстремалями функционала типа площади.
Пусть М - n-мерное, связное, некомпактное, ориентируемое многообразие класса С3 без края. Рассмотрим гиперповерхность М. — (М,и), полученную (73 - вложением и : М —* Rn+1, и С2-гладкую функцию Ф(£) : Mn+1 —» R, Ф(—£) = Ф(£). Если обозначить через £ поле единичных нормалей к поверхности М., то для любой С2-гладкой поверхности М. определена величина (1), которая не зависит от выбора нормали £.

Глава
Признаки устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей
Хорошо известно (см. [2])), что существует множество форм равновесия жидкости. Некоторые из них устойчивые, и их можно наблюдать, другие же - неустойчивые, либо не наблюдаемые, либо разрушающиеся в течение коротких промежутков времени. В природе существует бесконечное множество малых воздействий - возмущений. Если равновесие жидкости неустойчиво хотя бы по отношению к одному из малых возмущений, то равновесие обязательно нарушиться (см., например, [2]). Условия, при которых неустойчивость становится возможной, зависят от соотношения стабилизирующих и дестабилизирующих сил (или других факторов) либо от характера системы. Наступление неустойчивости почти всегда носит черты кризиса, то есть скачкообразного изменения ряда параметров системы. В результате кризиса, старое состояние разрушается, но может возникнуть новое состояние, также упорядоченное, которое при увеличении критерия неустойчивости вновь разрушается. С математической точки зрения, возникновение неустойчивости — это исчезновение соответствующего равновесному состоянию решения и возникновение нового (например, равновесие мыльной пленки на двух кольцах). Такая ситуация называется ветвлением решений.
Рассмотренные в данной работе экстремали функционала типа площади также имеют физический смысл и непосредственное применение в