Вещественная интерполяция и почти оптимальность адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации

• Автор: Невский, Дмитрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 132 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Случай приближения многочленами
1.0 К— и Е—функционалы и почти оптимальные разложения
1.1 Описание алгоритмов и основные результаты
1.2 Доказательство теоремы
1.3 Доказательство теоремы
1.4 Доказательство теоремы
1.5 Доказательство теоремы
1.6 Доказательство теоремы
1.7 Доказательство теоремы
1.8 Доказательство теоремы
1.9 Дополнение
1.10 Дополнение
1.11 Дополнение
2 Случай ’’приближения нулем”
2.1 Описание алгоритма спуска и основные результаты
2.2 Доказательство теоремы
2.3 Доказательство теоремы
2.4 Доказательство теоремы
2.5 Доказательство теоремы
2.6 Доказательство теоремы
2.7 Доказательство теоремы
2.8 Доказательство теоремы 17
2.9 Доказательство теоремы 18
2.10 Доказательство теоремы
2.11 Дополнение
2.12 Дополнение
Литература

Введение.
Цель настоящей работы' состоит в том, чтобы продемонстрировать возможность использования вещественной интерполяции для установления оптимальных и почти оптимальных свойств дискретных алгоритмов и тем самым расширить область применения вещественной интерполяции. В работе это осуществляется на примере важных и самих по себе адаптивных алгоритмов диадической кусочно-полиномиальной аппроксимации в Lp(Qo), где Qo = [0,1]" - единичный куб в R".
Обычно в теории интерполяции задается пара банаховых пространств X = (Xo,Xi) и для этой пары требуется найти /б—функционал и вычислить интерполяционные пространства Хол. При этом вычисление А'—функционал а, как правило, требует нахождения почти оптимальных разложений х — x0(t) •+ xi(£), причем почти оптимальность понимается как справедливость неравенства
IM^IUc + ^IMOIUi 0, (1)
где константа с не зависит от х и t.
В предлагаемом подходе задача ставится по-другому. Для всех х из некоторого пространства Ха и всех t > 0 задан алгоритм А построения X(t) и нужно подобрать такое пространство Хг, чтобы разложение
X = (х — XI (t)) -г .Т;(()
было почти оптимальным в смысле А"-функционала, то есть чтобы выполнялось (1).
Таким образом, главным становится не вычисление А'—функционала, а нахождение по заданному алгоритму второго пространства пары. Эта задача в работе осуществляется на примере адаптивных диадических алгоритмов кусочно-полиномиальной аппроксимации.
К сожалению, понятие почти оптимальности в смысле А—функционала не совсем наглядно. Более естественным представляется понятие почти оптимальности в аппроксима-ционном смысле, или в смысле Е—функционала. Пусть некоторый алгоритм А строит по элементу х € и t > 0 элемент Xi(t) из Х. Алгоритм А мы будем называть почти оптимальным (в аппроксимационном смысле, или в смысле А—функционала), если элемент Х (f), находясь в шаре радиуса сД пространства Х приближает ”не хуже”, чем элементы из шара радиуса Сг£ того же пространства. Другими словами, алгоритм является почти оптимальным, если существуют такие константы С, Со и с, не зависящие от х и t, что
11*1 (О IU, < cit*
II*-Xi(£)||x0 < с inf \х-g\x0 = cE(c2t,x;XuX0).
9-Иэ| ki
Следует отметить, что из почти оптимальности алгоритма А в аппроксимационном смысле следует почти оптимальность разложения ж = (х — Xi(t)) + £i(t) в смысле К—функционала пары (A'qAi). А именно, выполняется неравенство (см. параграф 0 гл. 1):
H^-ZiMlUo + *Cc)l|si(*)lfa < cK(s{t),xXo.Xi),
где s(t) = \x-x^WxJt.
Пусть / принадлежит LP(Q0). Мы рассмотрим семейство алгоритмов Аа аппроксимации /, зависящих от параметра а € R. Конструкции существенно различные для а > 0 и а < 0.
В случае а > 0 алгоритм будем называть алгоритмом спуска, так как идет последовательный переход от больших диадических кубов к меньшим. В основе алгоритмов спуска лежат построения из глубоких работ анализа: конструкция Кальдерона - Зигмунда (возникающая при построении так называемого разложения Кальдерона - Зигмунда) и конструкция кусочно-полиномиальной аппроксимации, предложенная в работе Бирмана - Соломяка [3] для аппроксимации функций из пространства Соболева.
При а < 0 алгоритмы представляют собой дискретные аналоги алгоритмов из [15). В случае а < 0 осуществляется последовательный переход от меньших диадических кубов (начиная с некоторого уровня) к большим. Поэтому это семейство алгоритмов мы будем называть алгоритмами подъема.
Особый интерес представляет собой случай а = 0, в котором фактически речь идет о классической задаче аппроксимации функции / 6 Lp с точностью до £ кусочно-полиномиальной функцией с минимальным количеством полиномиальных ступенек. Отличие рассматриваемой задачи от классической состоит в том, что мы под кусочно-полиномиальными функциями понимаем функции g вида g = Y.9jXQj-, 9j £ А> c возможно пере-

секающимися диадическими кубами Qy Здесь и всюду далее Pk обозначает пространство алгебраических многочленов степени < к — 1, к > 1.
Всюду ниже fq'1 € Pk обозначает полином наилучшего приближения / в LP(Q) (1 < р < +оо), то есть
Через 0(<3о) обозначим множество диадических подкубов исходного куба С^о. Множество диадических кубов из и((2о) можно изобразить в виде дерева (по включению меньших кубов в большие); при этом один уровень этого дерева образуется одинаковыми по размеру диадическими кубами.
Опуская детали, изложим основные результаты работы.
Алгоритм спуска и результаты, связанные с ним
Пусть / е Ьр(12о)> 1 < V < -+оо, и а > 0 фиксированы. В этом случае алгоритм Аа (см. параграф 1 гл. 1) для произвольного числа

1.3 Доказательство теоремы
Перед доказательством почти оптимальности докажем неравенства 1 и

II/*! (лДа.р) — Е Е Ю*Г +1 = 2"'(1"а) Е Ша +1 ^
г к= 1 <2;
< (271(1-°:) д. 1)ЛГ(£).
Поэтому
нл1и*(«,) < (2п(1-а) + 1)1/чт)1/т-
Докажем теперь неравенство 2. Имеем:
II/ - М1рШ = Е Е /1/ - /$1* + /1/ - /по’Г <
* *=1П* ' По
< Е Е ПФ1“ + *Р = Е2П * + ^ =
I А=1 *
= *р(2’,(1-а) Е 1&Г+1) < (2Я(1“а) + Е Ша =

Отсюда
II/ - Л1кр(0о) ^ (2п(1_а) + 1)1/гДАГ(г))1/г
Обозначим
.— Я{ ^j
По “ ОоО Яг-
Для доказательства неравенства