Исследование множеств значений функционалов вариационным и параметрическим методами

• Автор: Пчелинцев, Валерий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Метод внутренних вариаций однолистных функций

1.1 Вариационная формула Голузина

1.2 Основные вариационные формулы

в классах 5 и £

1.3 Вспомогательные вариационные формулы

в классах 5 и Ео

1.4 Вариационные формулы в классе ©

2 Множество значений производной Шварца

2.1 Определение и свойства производной Шварца
2.2 Интегральное представление производной
Шварца
2.3 Множество значений функционала {/(.го), ^о} на классе 5
2.4 Множество значений функционала {/(.го),-го} на классе

3 К задаче о неналегающих областях
3.1 Функционал £(/, Г) = 1п

3.2 Дифференциальные уравнения для граничных функций
3.3 Уравнение границы множества Е
4 Множества значений функционалов на классе пар однолистных функций
4.1 Функционал Ф(/, Е) = 1п ^ )} ^
4.2 Вывод дифференциальных уравнений для граничных
функций функционала (4.1)
4.3 Анализ и интегрирование уравнений (4.4) и (4.5)
4.4 Функционал Ф(/, А) = 1п ^
4.5 Анализ и интегрирование уравнений (4.23) и (4.24)
Заключение
Литература

Список обозначений
В работе принята двойная нумерация теорем и формул, самостоятельная в каждой главе.
С - комплексная плоскость;
С = C(J{oo} - расширенная комплексная плоскость;
U - единичный круг {z € С : z < 1};
U* - внешность единичного круга {С Е С : |£| > 1};
K(r,R) - круговое кольцо {z Е С : 0 < г < z < R < +00};
S - класс голоморфных однолистых в круге U функций w = f(z) таких, что /(0) = 0,/'(0) = 1;
Sm ~ подкласс функций класса S, удовлетворяющих неравенству f{z) <М, М> 1;
£ - класс мероморфпых однолистных в области U* функций w = F(С), имеющих в проколотой окрестности бесконечно удалённой точки разложение вида F(Q — ( + а0 + ад/С + ••• + ап/(п + ...;
£0 ~ подкласс функций класса £, не принимающих в U* нулевого значения;
Ш - класс всех пар функций (f(z),F(С)), /(0) = 0, F(00) = со, мероморфных однолистных и без общих значений соответственно в круге U и в его внешности U*-,
ЯЛ' - класс всех пар функций (f(z),F(С))> f{z) G S, F(С) G £q;
Доказательство. Функция

ш(ю) = V) + £ 52Ак
ги - юк
голоморфна и, согласно лемме 1.1, однолистна в области Д, полученной из плокости Сш удалением замкнутых кругов радиуса г =
есть расстояние между точкой и областью /(11), с центрами в точках ъик, к = 1 Заметим, что функция /(г,е) = и)(/(г)), го-
ломорфная и однолистная в круге и, как композиция голоморфных и однолистных функций, удовлетворяет условиям /(0,е) = 0, /'(0, е) = 1 и, таким образом, принадлежит классу 5
Теорема 1.5. Пусть функция Р(() <е Е() такова,что область Р(и*) имеет внешние точки и]к, к = 1 , ...,?п. Тогда в классе Ео имеет место вариационная формула
где Ак - произвольные комплексные постоянные.
Доказательство. Пусть г = 1/С,, /(г) — 1 /-Р(С) Е 5. Применяя к функции /(г) теорему 1.4 и пологая Р((,е) = 1//(г,е), получим

(1.7)
что и требовалось.