Дифференциальные базисы со специальными свойствами

• Автор: Перфильев, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 101 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Различение наборов симметричных
пространств дифференциальными базисами
1.0. Основные определения и теоремы
1.1. Различение наборов пространств Лоренца
с помощью дифференциальных базисов
1.2. Различение симметричных пространств и
Ь°° с помощью дифференциальных базисов
1.3. Простой пример дифференциального базиса, не дифференцирующего класс характеристических функций открытых множеств
ГЛАВА 2. Теоремы экстраполяции и их применение
в теории дифференцирования интегралов
2.1. Точная теорема экстраполяции для операторов
2.2. О проблеме окаймления для дифференциальных базисов
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы. В диссертации изучается ряд задач теории дифференцирования интегралов и некоторые тесно связанные с этой теорией вопросы гармонического анализа в симметричных пространствах.
Истоком теории дифференцирования интегралов является хорошо известная теорема А. Лебега 1910 г. о том, что для произвольной последовательности стягивающихся шаров B(t,rk) и почти всех точек из области определения локально интегрируемой функции x(t) справедливо равенство
lim —7
fc->ос /і(Б(і,Г*)) JB(t,rk)
Тот факт, что рассматривается предел средних значений по евклидовым шарам, а не по стягивающимся к точке t множествам какого - нибудь другого вида, на первый взгляд может показаться несущественным. Однако в 1927 году было показано, что с точки зрения дифференцирования, прямоугольники из R2, со сторонами параллельными осям координат, ведут себя намного хуже, чем круги на плоскости. В результате возникла такая проблема: останется ли справедливой теорема А. Лебега, если в ней евклидовы шары заменить на множества иной природы? Несмотря на то, что прошло почти столетие после появления пионерской работы А.Лебега, в теории

дифференцирования интегралов остается много нерешенных проблем. Это связано с тем, что в этой теории тесно переплетаются трудные вопросы геометрии множеств, на которые заменяют шары в теореме Лебега, геометрии функциональных пространств, из которых берутся функции, стоящие под знаком интеграла, вопросы теории максимальных операторов и т.д.
В настоящее время для теории дифференцирования интегралов одной из основных задач является следующая.
Пусть X, У два различных в каком-нибудь смысле пространства. Можно ли эти два пространства различить с помощью дифференциальных базисов, т.е. существует ли дифференциальный базис, который дифференцирует все интегралы от функций из X, но найдется функция из У, интеграл от которой данный базис не дифференцирует.
Наряду с задачей различения пары пространств можно рассматривать задачу различения пространства X и набора пространств {У7 : 7 € Г} с помощью одного дифференциального базиса.
Если обратиться к шкале пространств Лебега Ьр, то Хейес показал [10, с. 165], что существует дифференциальный базис, который дифференцирует Ь°°, но не дифференцирует Ьр при 1 < р < оо. Позднее А. Стоколос [37, 38] для заданного пространства Орлича Ьдг, построенного по выпуклой функции А(7), удовлетворяющей Д2 - условию, построил пример дифференциального базиса из параллелепипедов, который дифференцирует интеграл от произвольной функции из Ьм, но не

Из последнего соотношения и (31) получим, что
ц(зиррх)—уО
Нш іі(и2(5, А)) = 0.
(32)
Из (30) - (32) следует, что /и{£ : М&хх{А) > Л} —> 0 при <5 —> 0 и ц(А) —> 0. Последнее означает, согласно критерию, данному в теореме 1.1 книги [ 1, с. 66], что В дифференцирует интеграл от /.
Теорема доказана.
Сейчас мы для каждого допустимого дифференциального базиса В построим некоторую функцию, которая будет играть важную роль при решении основной задачи, поставленной в начале работы.
Пусть задан дифференциальный базис В, построенный по возрастающим последовательностям {щ = 2Гт}, {рг}, {т;}. Пусть задана еще одна положительная последовательность чисел {дг}. Определим функцию Т(£) равенством
Оказывается, при надлежащем выборе чисел {д} базис В не дифференцирует
Лемма 5. Пусть В дифференциальный базис, построенный по возрастающим последовательностям {та;}, {рі}, {ті}. Пусть для последовательности {б?;} справедливо соотношение

ВД = Х>хСтМ).
(33)