Интерполяционные теоремы и теоремы об эквивалентных нормах в пространствах гладких элементов

• Автор: Горохов, Евгений Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 135 c. : ил

Гл. I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Гл. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ 2.1. Одно интерполяционное неравенство

§ 2.2. Некоторые обобщения и их следствия

Гл. 3. СГЛАЖИВАЩИЙ АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ.

§ 3.1. Сглаживающий аппроксимационный процесс (общий

случай)

§ 3.2. Интерполяционные теоремы для полунорм, построенных

по резольвенте неограниченного замкнутого оператора,

§ 3.3. Обобщенный сдвиг и интерполяционная теорема

§ 3.4. Сглаживающий аппроксимационный процесс, построенный
по ограниченной полугруппе
Гл. 4. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩЕГО ОПЕРАТОРА ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛУГРУППЫ
§ 4.1. Некоторые свойства пространств г-^-ь и
р! О , г
Егч*- г- ч,-£
и > г
§ 4.2. Пространства р £-(£-£)
§ 4.3. Интерполяционные свойства пространств ЕрЛ, г-н.-ь ~ О ЪГ
И ЬгГ^ г-п.-£
и > Г
Гл. 5. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩИХ ОПЕРАТОРОВ СИСТЕМЫ КОММУТИРУЩИХ ГРУПП . г—(£5 у'О
§ 5.1. Пространства С р е-ь
§ 5.2. Пространства
tKejFe-£
БИБЛИОГРАФИЯ

КР^ г ^ Kt4i",F
s'L£
ЕК«',Рл‘ '

- 4 -ВВЕДЕНИЕ
Работы С.Л. Соболева, С.М. Никольского, Л.Н. Слободецкого, О.В. Бесова и их сотрудников дали мощный толчок к изучению пространств функций, обладающих той или иной степенью гладкости в смысле интегральных метрик. Эти пространства нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений, математической физике, вычислительной математике. Естественным обобщением задач, рассмотренных в указанных работах, явились задачи о построении и исследовании в произвольном банаховом пространстве линейных подмножеств, состоящих из элементов, обладающих той или иной степенью гладкости относительно заданного неограниченного линейного оператора, действующего в этом пространстве. Ж.Л. Лионе и Ж. Петре [28] с помощью развитых ими интерполяционных методов констант и средних построили промежуточные пространства между банаховым пространством Е и областью определения степени производящего оператора ограниченной полугруппы операторов,
действующей в [ .П. Грисвард [24] распространил их метод на более широкий класс операторов - позитивных операторов (см. [18], [I]). С.Г. Крейн ( [14],[25]) несколько обобщил конструкцию указанных авторов, введя понятие сглаживающего аппроксимационного процесса, с помощью которого и вводятся промежуточные пространства гладких элементов.
Другим стимулом многочисленных исследований явилась знаменитая интерполяционная теорема Ж. Марцинкевича, доказательство которой было восстановлено и опубликовано А. Зигмундом [34]. Отметим здесь лишь результаты С.Г. Крейна и Е.М. Семенова [1б], получивших обобщения теоремы Ж. Марцинкевича в классе симметричных в смысле Е.М. Семенова пространств (см., также, [15], теоремы 6.1,

||p(4)^oc.||E_>E =&! (o<-Uoo). (I3)
Пусть для операторов и Q-t вьшолнено соотношение
следующего вида:
о - £

I 1 (_jb] , ^ - равномерно ограниченные по X и
Ь операторнозначные функции, коммутирующие с и Q^-
при всех дг > О ; ск (X) и J2> СХ) - ограниченные возрастающие скалярные функции на (o^ij и соответственно.
Определение I.I. Параметрическая полунорма S('i)'x) удовлетворяет ослабленному р - условию, если для любого Ь>0 найдется такое разбиение произвольного ТС €. Ед :
х= •х» +
и такое положительное число S , при которых соответствующие параметрические полунормы S Е ( X (U о) I') удовлетворяют
оценкам.
4C SCW , (1.5)
(I.6)
, * (I-8)
Определение 1.2. Будем говорить, что параметрическая полунор-