Интегральные представления биквартернионных гипергодоморфных функций и их приложения

• Автор: Кравченко, В. В.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1993
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 95 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. а-ГИПЕРГОЛОМОРФНОСТЬ КВАТЕРНИОННЫХ ФУНКЦИЙ И НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ КВАТЕРНИОННОГО АНАЛИЗА

1.1. Обобщенная система уравнений Кощи-Римана с комплексным параметром

1.2. Обобщенная система уравнений Коши-Римана с кватернионным параметром, обобщенные голоморфные векторы в смысле А.В.Бицадзе
1.3. Краевые задачи для а-гиперголоморфных функций. 31 ГЛАВА 2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

МАКСВЕЛЛА И ДИРАКА

2.1. Оператор Гельмгольца с кватернионным

параметром

2.2. Связь а-гиперголоморфных кватернионных

функций с гармоническими электромагнитными полями в однородной изотропной среде
2.3. Связь а-гиперголоморфных кватернионных функций с гармоническими во времени решениями уравнения Дирака
2.4. Некоторые краевые задачи для гармонических электромагнитных и спинорных полей
ГЛАВА 3. ГИПЕРКОМПЛЕКСНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ, СИСТЕМЫ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ПОРОВДЕННЫЕ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА ФУЕТЕРА
3.1. Гиперкомплексная факторизация некоторых уравнений математической физики
3.2. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, порожденные операторами типа Фуетера
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В связи с применением аппарата теории функций комплексного переменного был достигнут наиболее существенный прогресс в решении двумерных задач математической физики. Среди возможных пространственных обобщений двумерной теории все более видное место в последнее время занимает кватернионный анализ.
Введенный в [651, [551, [34] в связи с требованием
факторизации оператора Лапласа, аналог условий Коши-Римана естественным образом привел к понятиям кватернионных аналогов интеграла типа Коши, оператора сингулярного интегрирования, Т-оператора, рассмотренным впервые в [7], [8]. Для них оказались справедливы теоремы, обобщающие известные результаты теории функций комплексного переменного. В [7] были показаны и первые применения интегральных теорем кватернионного анализа в пространственной теории упругости.
Список применений в различных областях математической физики продолжает стремительно расти. В [60], [61], [62] продемонстрирована возможность переформулировки классической электродинамики в терминах кватернионного анализа. В [22], [2], [36] решены некоторые пространственные задачи теории упругости методами кватернионного анализа. Связь ряда гидродинамических и геофизических моделей с кватернионными интегральными и дифференциальными уравнениями показана в [48], [13], [70]. В [5], [26] (см. также имеющиеся там
ссылки) симметрийный анализ уравнения Дирака для свободной
lim (Kav)1 (x)= vi (х)+а|Фа(х-у)¥0 (у )dTy.

Таким образом, Kav (при v2=vgsO) является
задачи (1.3.3) в том и только том случае
выполнены равенства
vo(x)-2aJ®a(x-y)vi(y)dTy=2c(x),

vt (х )■+2а/Фа(х-у)'vo (у)<ЗГу=2d(х).

Умножая (1.3.7) на 1 и складывая с (1.3.6), (1.3.4), а вычитая (1.3.7), умноженное на 1, из получаем (1.3.5). То есть, (1.3.4)—(1.3.5) и (1.3.6 равносильны. ■
Предложение 1.3.2. Уравнения (1.3.4)—(1.3.5) je (Г) однозначна разрешимы. Причем решения имеют вид
so=c+h*c- (1п|~|-)*с,
rv г>
si=d-h*(i,

h(x): = (4ic|xi )_1(iae'ia|x|+2a2)+Io(1-||x| )Ko(1-||x| ), (
Io и Ko функции Бесселя 2-го и 3-го родов. Доказательство.
Применим преобразование Фурье к (1.3.4)-получим
Fs +2aiF(®„*s )=Fc,
о CL о'
решением
когда
(1.3.6)
(1.3.7)
получаем (1.3.6), >-(1.3.7)
в классе
(1.3.8)
(1.3.9)
i .3.10)
-(1.3.5), (1.3.11 )