Интегральные операторы свертки в лебеговых пространствах

• Автор: Степанов, Владимир Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 304 c. : ил

ГЛАВА I. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
СВЕРТКИ
§ I.I. Критерий порождаемости измеримой функцией интегрального оператора свертки
§ 1.2. Пространства ядер ХР
§ 1.3. Критерий представимости линейного оператора в
виде интегрального оператора свертки
§ 1.4. Пространства ядер р) и классификация
ядер ограниченных операторов свертки. Решение
аналога проблемы Халмоша и Сандера
§ 1.5. Аппроксимация единичного оператора растяжениями
интегрального оператора свертки
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ СЛАБОГО ТИПА
§ 2.1. Критерий порождаемости измеримой функцией интегрального оператора свертки слабого .типа
§ 2.2. Интегральные операторы свертки слабого типа
(1,1)
§ 2.3. Критерий представимости линейного оператора,
действующего из L. в L(p,cp , в виде интегрального оператора свертки
ГЛАВА 3. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СВЕРТКИ И МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ
§ 3.1. Периодические мультипликаторы
§ 3.2. Финитные мультипликаторы
ГЛАВА 4. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ, НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ОПЕРАТОРАМИ
СЛАБОГО ТИПА НА КОНЦЕ ИНТЕРВАЛА ДЕЙСТВИЯ
§ 4.1. Операторы свертки с полным интервалом действия Ш

§ 4.2. Операторы свертки с узким интервалом действия234 § 4.3. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда-Соболева...272 § 4.4. Интегральная представимость резольвент дифференциальных операторов
ЛИТЕРАТУРА

Операторы свертки с момента их появления ' были и остаются актуальным предметом исследования. Это объясняется как внутренними потребностями различных областей математики,где они возникают (гармонический анализ, теория линейных операторов, теория вероятностей,дифференциальные и интегральные уравненияДтак и прикладным значением, поскольку с помощью операторов свертки описываются многие пространственно-инвариантные процессы. С другой стороны, общепризнано, что наиболее распространенными и с точки зрения приложений, и по своему центральному месту в анализе, являются лебеговы пространства и с рассмотрения в этих пространствах различных операторов свертки началось их изучение в работах У.Юнга,
Д.Гильберта, А.Н.Колмогорова, А.Безиковича, Е.Титчмарша, М.Рисса, Г.Харди и Д.Литтлвуда, С.Л.Соболева и других авторов.
Оператор свертки задается ядром и проблемой здесь является поиск минимальных условий, обеспечивающих непрерывность оператора. Последнее обусловлено различными свойствами ядра: осцилляцией, гладкостью, поведением на бесконечности и т.д. За исключением ряда простых случаев эти свойства ядра оказываются слишком деликатными, чтобы их можно было извлечь со всей определенностью только из предположения о непрерывности оператора. Поэтому развитие вынуждено идти с другого, по-ви-димому, неисчерпаемого конца - с накопления фактов. Различные методы и примеры операторов свертки, ограниченно действу ющих в лебеговых пространствах, рассматривались в работах Ж.Марцинкевича, А.Кальдерона и А.Зигмунда, И.Хиршмана, С.Г.
' См., например, исторический обзор Н.Бурбаки [51
Таким образом^элементы из имеют конечные нормы.
Покажем обратное. Пусть Ilk IIUw . Тогда нетрудно
видеть, что
оо> Т1
mt А
k( y.-t-m's

>Ш(Iko^d-kV 5 ueQ(
шеЛ Qo
Отсюда интегрированием получаем
oo>
72 (lka+m^| 011A Q0 Q, 0 nv л d
Последнее условие достаточно (см. доказательство теоремы
1.1.1 для того, чтобы кеЗСр).
Для случая р - Т рассуждения проводятся аналогично.
Теорема доказана.
Замечание I. Теоремы 1.1.1 и 1.2.4, фактически, эквивалентны друг другу и, в зависимости от ситуации, можно пользоваться той или другой, оба критерия являются полезными. Последнее обстоятельство будет играть решающую роль ниже, в § 1.4, однако, забегая вперед, отметим, что для исследования символа оператора свертки (преобразования Фурье ядра) более подходит теорема 1.1.1, а для того, чтобы выяснить принадлежность к какого-либо конкретного ядра,удобнее, на наш взгляд, использовать теорему 1.2.4.