Асимптотики собственных значений оперативных матриц в окрестности непрерывного спектра

• Автор: Владимиров, Антон Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение

1 Оценки спектра самосопряжённых дифференциальных оператор-функций

1.1 Свойства дифференциальных оператор-функций

1.1.1 Квадратичные формы операторов-значений

1.1.2 Локально равномерная полуограниченность

1.1.3 Резольвентная непрерывность

1.1.4 Замыкания квадратичных форм операторов-значений

1.2 Оценки собственных значений

1.2.1 Простейшие оценки собственных значений

1.2.2 Оценки при выполнении условий монотонности

1.2.3 Оценки при выполнении условий отрицательности
типа спектра
1.2.4 Применение к дифференциальным оператор-
функциям
1.3 Сравнение с известными оценками спектра дифференциальных оператор-функций
1.3.1 Простейшие оценки для задачи Штурма-Лиувилля
1.3.2 Более точные оценки для задачи Штурма-Лиувилля
1.3.3 Оценки для задачи второго порядка с неразделёнными краевыми условиями
1.3.4 Оценки для задачи высшего порядка с разделёнными краевыми условиями
1.4 Некоторые обобщения

1.4.1 Применение теорем 1.1-1.3 к другим классам дифференциальных операторов
1.4.2 Редукция сингулярных оператор-функций к регулярным
2 Асимптотики собственных значений простейшей операторной матрицы
2.1 Условия накопления дискретного спектра
2.1.1 Условия накопления в абстрактной форме
2.1.2 Осцилляционная теорема и конкретизация условий
накопления
2.2 Асимптотики накопления дискретного спектра
2.2.1 Логарифмическая асимптотика
2.2.2 Степенная асимптотика
2.2.3 Оценка остатка в степенной асимптотике
3 Асимптотики собственных значений операторной матрицы из теории упругости
3.1 Основные свойства операторной матрицы
3.1.1 Замыкаемость и существенный спектр
3.1.2 Существенная самосопряжённость в индефинитной
метрике
3.1.3 Передаточная функция
3.2 Оценки числа отрицательных собственных значений для операторов четвёртого порядка
3.2.1 Оценки числа отрицательных собственных значений
для модельных операторов
3.2.2 Оценки числа отрицательных собственных значений
в более общем случае
3.3 Условия и асимптотики накопления дискретного спектра .
3.3.1 Условия накопления дискретного спектра
3.3.2 Логарифмические асимптотики

Введение
При изучении задач механики сплошных сред возникают дифференциальные операторные матрицы и связанные с ними дифференциальные оператор-функции, нелинейно зависящие от спектрального параметра Л. Например, одна из простейших моделей магнитной гидродинамики связана с оператор-функцией вида
Многочисленные примеры других возникающих в магнитной гидродинамике дифференциальных оператор-функций можно найти в монографии [24], а также в статье [4]. Некоторые операторные матрицы, возникающие в теории упругости, рассмотрены в монографии [8].
Из-за своей тесной связи с приложениями задачи о спектральных свойствах дифференциальных оператор-функций с достаточно общим характером зависимости от спектрального параметра привлекали и привлекают большое внимание. Так, важные результаты для оператор-функций второго порядка получены уже в 1939 году в статье [20]. В последнее время появилось значительное число работ, посвящённых разработке методов численного нахождения собственных значений дифференциальных оператор-функций, нелинейно зависящих от спектрального параметра. Отметим среди этих работ статьи А. А. Абрамова [1], [2] и [3], а также статьи Л. Д. Акуленко и С. В. Нестерова [5], [6] и [7].
Однако вопрос о качественном описании поведения собственных значений операторных матриц и связанных с ними оператор-функций вблизи критических точек (в частности, границ непрерывного спектра) исследован недостаточно полно. Например, в работе [26] для задач Штурма-Лиувилля с монотонно зависящими от спектрального параметра коэф-

Утверждение 1.7. Пусть р(х,Х) > 0, д(сс,А), есть непрерывные вещественные функции прямоугольника [а, Ь) х (сг, т). Пусть при этом для любого фиксированного Ао 6 (а, т) функция р(х, Ао) принадлежит пространству С71 [а,, 6). Пусть также определены непрерывная на прямоугольнике [а,Ь) х (сг, г) функция и(х, А) и непрерывная на интервале (сг, т) функция £(А) со следующими свойствами.
• При любом фиксированном Ао € (сг, т) функция и(х, Ао) принадлежит пространству С2[а, Ь). При этом функция и'х(х, А) непрерывна на прямоугольнике [а, Ь) х (сг, т).
• Равенство
- (р(х, )и'х(х, Х))'х + ф, А)и(х, А) = О справедливо на всём прямоугольнике [а,Ь) х (сг, т).
• При любом фиксированном Ао £ (сг, т) функция и(х, Ао) принадлежит пространству Ь^а, Ъ).
• При любом фиксированном Ао € (сг, г) число С(^о) принадлежит интервалу (а, Ъ). При этом на интервале (С(Ао), Ь) функция и(х, Ао) не обращается в нуль.
Пусть, наконец,' непрерывные вещественные функции а(А) и /?(А) удовлетворяют неравенству
НА)| + |/?(А)|>0, а также одному из условий
т = о

тф о.
Тогда для сингулярной дифференциальной оператор-функции 5(А), определённой в пространстве 1ф, Ь) дифференциальным выражением
- (р(х, А)ух))' + ф, А)у(х)