Сплетающие операторы и интегрируемые системы

• Автор: Червов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с.

0.1 Обзор проблематики и предыдущих исследований
0.2 Описание содержания работы
0.3 Краткая формулировка основных результатов работы
0.4 Разное
1 Предварительные сведения
1 Группы Ли, алгебры Ли, представления
2 Подалгебры Бореля,Картана, Системы корней
2.1 Пример 5Б(А)
3 Универсальная обертывающая алгебра и операторы Казимира
3.1 Примеры операторов Казимира
4 Представления групп и алгебр Ли
5 Алгебры Каца-Муди
6 Квантовые группы
7 Интегрируемые системы
2 Следы сплетающих операторов
1 Введение
2 Ферми случай
3 Бозе случай
4 Формулы Фредгольма
5 Следы сплетающих операторов
5.1 Следы вертексных операторов
5.2 Дубль Янгиана, сплетающие операторы
5.3 Сходимость бесконечного произведения
6 Регуляризация следов. Следы в пространствах с выделенным базисом
6.1 Регуляризация следов
6.2 ” Непрерывный” базис
6.3 След и производящие функции

3 Волновые функции Уиттекера в цепочке Тоды и сплетающие операторы
1 Введение
2 Общая схема построения интегрируемых систем и соотношений на
волновые функции
2.1 Построение интегрируемой системы
2.2 Сплетающие операторы и соотношения на волновые функции
3 2) Цепочка Тоды
3.1 Обозначения
3.2 Функции Уиттекера
3.3 Сплетающие операторы
3.4 Соотношения на функции Уиттекера
4 вЬ{Ъ) Цепочка Тоды
4.1 Обозначения
4.2 Функции Уиттекера
4.3 Сплетающие операторы
4.4 Соотношения для волновых функций Уиттекера
5 5Т(п) цепочка Тоды
5.1 Обозначения
5.2 Функции Уиттекера
5.3 Сплетающие операторы
6 Квантовая группа £/,(3/2) и 9-аналоги функций Бесселя
6.1 Обозначения
6.2 9-функции Бесселя
6.3 Сплетающие операторы
6.4 Соотношения на функции Уиттекера
7 Заключительные замечания
4 Сплетающие операторы и билинейные соотношения для обобщенных т-функций
1 Введение
2 Обобщенные г-функции
3 т-функции для 5Х(3). Билинейные соотношения и нелинейные уравнения
3.1 Обозначения
3.2 Билинейные тождества, нелинейные уравнения
3.3 Вывод билинейных тождеств
4 Билинейное соотношение для БЦТ^) т-функций
4.1 Обозначения
4.2 Билинейное тождество

Билинейные тождества для 5Ь(3)

возможно доказательство длиною в несколько строк, использующее только коммутационные соотношения. Идея другого доказательства, пригодного в общем случае, состоит в следующем: если оператор р - диагонализуем, то, выбирая базис из собственных векторов, можно заметить, что сумма диагональных элементов в этом базисе раскладывается в произведение сомножителей, каждый из которых является легко сворачиваемой суммой. Поскольку любой оператор со следом может быть аппроксимирован диагонализуемыми, то теорема верна для произвольного оператора со следом. Третье доказательство основано на явном выражении для следа от ограничения рассматриваемого оператора на пространство многочленов п-ой степени. В этом случае доказательство громоздко, но формулы следа по пространству многочленов п-ой степени могут быть интересны сами по себе.
Изложение организовано в следующем порядке: в разделах 2, 3 мы доказываем основную формулу для случая фермионного и бозонного пространств Фока соответственно, причем в третьем разделе все детали, аналогичные фермионному случаю опущены. В четвертом разделе из основных формул выводятся формулы Фредголь-ма. В пятом разделе основные формулы используются для вычисления следов вер1 тексных операторов Б и (2)-инвариаптной модели Тирринга. Далее следует несколько приложений. В первом из них рассматриваемые формулы обобщаются на линейные пространства со счетным базисом, без какой-либо топологии. Во втором приложении обсуждается регуляризация следов. В третьем обсуждается случай ”непрерывного базиса”. В четвертом приводятся выражения для следа в Фоковском пространстве в терминах производящих функций. В пятом приложении доказывается сходимость бесконечных произведений, возникающих при вычислении следов вертексных операторов для Б11 (2)-инвариантной модели Тирринга.
2 Ферми случай
В этом разделе мы доказываем основную формулу следа (теорема 2.1) для случая пространства многочленов от антикоммутирующих переменных - фермионного пространства Фока. Мы используем понятие внешней (антисимметрической) алгебры линейного пространства, которая в конечномерном случае совпадает с алгеброй многочленов от антикоммутирующих переменных при фиксации некоторого базиса, но существенно предподчтительнее в бесконечномерном случае.
Пусть V - линейное пространство. Обозначим через АпУ п-ую антисимметрическую тензорную степень пространства У, через АУ = 0^_оЛпУ - внешнюю алге-бру пространства У. Если а, <22,... - базис У, то АУ естественно отождествляется с А[йі,а2і •••]■ Любой оператор р на пространстве У индуцирует действие оператора р на пространстве АУ по формуле : р(Д,- VI) = Д4- р(у;), где V; - произвольные элементы из У. Отметим, что сопоставление (У, р) —у (АУ, р) часто называется функтором вто-