Асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках

• Автор: Нурмагомедов, Алим Алаутдинович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 113 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

§ 1.1. Пространство ДО, р)

§ 1.2. Ортогональность на сетке

§ 1.3. Об ортогональных многочленах

§ 1.4. Некоторые свойства многочленов Якоби

§ 1.5. Асимптотические свойства многочленов Т“,|0(ж, IV)

ГЛАВА 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА

НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ

§ 2.1. Постановка задачи

§ 2.2. Некоторые вспомогательные результаты
§ 2.3. Асимптотические свойства многочленов
§ 2.4. Оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам С>)
ГЛАВА 3. МНОГОЧЛЕНЫ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ СЕТКАХ’В СЛУЧАЕ ЦЕЛЫХ а и

§ 3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Вспомогательные результаты
§ 3.3. Асимптотика многочленов в случае целых а и (3
§ 3.4. Сходимость сумм Фурье по многочленам р“’дг(ж)
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы
В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных сетках сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Это вызвано, прежде всего, потребностью их применения при решении многих теоретических и практических задач, многочисленными приложениями этих многочленов в математической статистике, вычислительной математике, теории кодирования, в квантовой механике и других областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье—Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений и т.д. Большая часть этих приложений приводят к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов.
К примеру, в прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(£) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы {<рп} требуется оценить отклонение частичной суммы 5'„(/) = ряда Фурье функции / по системе {срп} от самой функции /.
Приведенная задача стара, хорошо известна и детально изучена для многих классических ортонормироваипых систем. Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Это — классические многочлены, ортогональные на сетках. Именно идея применения ортогональных разложений для обработки дискретной информации привела П.Л. Чебышева к созданию общей теории ортогональных многочленов.
Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по классическим ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь, следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова.

Пусть £2 = {хо,х
М — | £2 | —мощность множества £2,
р = р(х) — вес — положительная функция, заданная на множестве £2 и удовлетворяющая условию
5 Р(хз)
(£2, р) — пространство функций / = /(ж), заданных на £2, для
которых
5 Ріїхз) < °о,
где Рз = р(Хз).
Предположим, ЧТО хп Є І2(ії,р) для любого п из Z+ = {0, 1, 2,.. Тогда к системе функций {ж"} (0 < п < М) применим процесс ортогонализации Грама—Шмидта. В результате получаем систему многочленов
(Рп(ж) = р„(ж;£2,р)}, 0 <п<М, (1)
обладающую следующими свойствами:
1) (1едрп(х)=п;
2) 2ХіепРп(хрт{хз)рз = 5пт, (5пт — символ Кронеккера). Система многочленов (1), обладающая свойствами 1) и 2) называется
ортонормированной с весом р(ж) на дискретной системе точек £2, а сами многочлены Рп(ж) (0 <п< М) — ортонормированными с весом р(ж) на £2. Многочлены Тп{ж) = спрп(ж) (0 < п < М), отличающиеся от рп(ж) постоянным множителем сп ф 0, называются ортогональными с весом р(ж) на дискретной системе точек £2. Аналогичная система многочленов для конечного М впервые была введена и подробно исследована в целом ряде работ П.Л. Чебышева в связи с задачами математической статистики. Особое внимание им было уделено случаю
£2 = {0,1
Г(ж + (3 + 1)Г(ЛГ -х + а)
р( ж)
Г(ж + 1)Г(ЛГ — ж)

где гп,лг = гх{Р%), и, стало быть,
гп,М

<**/{РШ' & = 25дг I |{РП2(*)}'| <Й. (2.2.21)

Далее, в силу (1.4.4)
|А2М}' = {ВМ}' = (2п + 1
(2 п+ 1)(п + 1)
Рп{і)РЇ Іі(і).
Поэтому, в силу весовой оценки (1.4.5), получим
(Рп(г)}' < с(п +1) ( VI - *2 +
Отсюда, в свою очередь, имеем
і - и + - ) <

< с(п + 1)

/ А-
1—ть~
< с(п + 1)1п(п + 1). (2.2.22)
Сопоставляя (2.2.21) —(2.2.22), приходим к оценке (2.2.19). Следствие
2.2.2 доказано.
Лемма 2.2.3. Пусть се, (3 — целые неотрицательные числа и ‘гвхбп2 < 1/4. Тогда для ортонормированного многочлена (2.1.4) имеет место следующая формула

У*( 1 - *)“( 1 + = 1 + Яп,м, (2.2.23)
в которой
48елгП2 ,ЛГ ~ 1 — 4аеілг»г2'
(2.2.24)