Замыкание, минимальность и базисность некоторых систем рациональных и трансцендентных функций в угловых областях

• Автор: Григорян, Шушаник Акоповна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 91 c. : ил

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ, МИНИМАЛЬНОСТИ И ЕАЗИСНОСТИ

В КЛАССАХ И р В ПОЛУПЛОСКОСТИ

§ I. Необходимые сведения и утверждения о пространствах Н Р в полуплоскости

Н Р в полуплоскости

§ 2. Теорема вложения для функций из Н +

§ 3. О замыкании, минимальности и базисности некоторых общих систем функций из Н +

Глава II. ЕАЗИСНОСТЬ НЕПОЛНЫХ СИСТЕМ РАНИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ В УГЛОВОЙ ОБЛАСТИ

§ I. Необходимые свойства функций из классов

Н^7 (*/г < < + <*0

§ 2. Построение биортогональных систем функций
и представление функций из И ]
§ 3. О замыкании и базисности системы функций
{тк (г ;«<)}“
Глава III. ЕЙ0РТ0Г0НАЛИЗАЦИЯ И ЗАМЫКАНИЕ НЕПОЛНЫХ ~
г 2 у
ОБОБЩЕННЫХ СИСТЕМ МЮНЦА-САСА * и
В УГЛОВЫХ ОБЛАСТЯХ
§ 1.Биортогонализация системы ■[■€. В
и вспомогательные леммы
§ 2.Вопросы сходимости в пространствах Н £
г - А*? _ «я*-* Ь
N I

I I Г — Д р
и Н 1 ряда по системе 2 *

ЛИТЕРАТУРА

а) Вопросам полноты - замкнутости различных систем аналитических и рациональных функций в разных метриках аппроксимации посвящено большое количество работ. Однако представляет особый интерес другой аспект задач аппроксимации, связанный с заведомо неполными в выбранной метрике системами функций. Этой тематике посвящен цикл исследований М.М.Джрбашяна fl-8] и в общих чертах может быть охарактеризован следующим образом: дать полную внутреннюю характеристику замыкания в данной метрике неполной системы функций и выявить условия, при которых функции из замыкания разлагаются в ряды по этим системам.
В исследованиях [?-10] была выявлена особая роль и важность построения биортогональных систем функций для решения задач такого рода.
В работе М.М.Джрбашяна [9] был предложен метод построения
системы функций (,с (Z) }. биортогональной на окружности
г ?00
12 | = { с системой рациональных функций {'itc (^) j± , где
сг)- ттлу«*
_О0 v
{<**} С I^kI < d ) - последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке, а $к 1 - кратность появления числа о(к на отрезке {dj , • • • > die } .
Им же этот метод был применен [ю] для построения системы функций , биортогональной на вещественной оси с
системой рациональных функций {и Ml* , где
и f '1 - ~~i')/ , -ч
Ч-Л М = («г- (£»£),

OO v
Т H 1 ( У' Н >0 ) ~ последовательность комплексных чисел,
J ^ i _ и л
удовлетворяющая условию Бляшке для полуплоскости Jm иг у 0 , а
За Z' i - кратность появления числа Jt на отрезке {jf^ } * • •
•••'/и }■
Метод построения биортогональных систем восходит к одной давней работе М.М.Джрбашяна и А.Б.Нерсесяна fil], посвященной построению биортогональных на конечном отрезке систем целых функций - линейных комбинаций от функций типа Миттаг-Леффлера
00 к.
В связи с этим исследовались также вопросы разложений функций по указанным системам, порожденным, вообще говоря, кратными нулями определенных целых функций такого же рода [12].
В дальнейшем этот же метод построения биортогональных систем, порождаемых аналитическими функциями с кратными нулями нашел существенно новые применения в ряде различных по своей природе вопросов анализа: в теории краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [13], [14] и для уравнений дробного порядка типа Штурма-Лиувилля [15], в вопросах разложений функций по неполным обобщенным системам Мюнца-Саса [ I]
{■в. ^ Х X ( Ил Aj- 7 О) и т.д.
Далее, этот метод нашел новые приложения и интересные обобщения в серии работ Верблюнского [1б] - [18].
М.М.Джрбашян дал важные применения этого метода также и в вопросах изучения асимптотических рядов Дирихле-Тейлора, обладающих свойством примыкания на полуоси или в бесконечных областях типа криволинейных полос [19], [20]. <*>
б) Еиортогональные системы М.М.Джрбашяна Q
и их различные модификации позволили установить критерий их ба-

/> Р. ..и?
Заметим также, что р ({д?) £ Н + » так как Р Сиг) <= Н _ ,
* Г г1
Теперь покажем, что последовательность £ ($ • £■) Фундаментальна в метрике Ир [у] (1 ^ И < ■+ 00) . В самом деле, по теореме Хана-Банаха имеем
I — г> I
^^Д?7 / 2ЖС С'|с
ЦП * 1 ^-т+1 1а

(2.3.14)
■г I
о % * X = m.+i
У/^// ^
н у н ~
Теперь упростим интеграл в (2.3.14), пользуясь теоремой 2.1.2, в силу которой почти для любого £ € И
я-ю--£«)-/♦<*>

€ Н^Су! »а _(г) € Н ^ Ы] , причем
ЧЛ,,„ “
Итак, получаем

I % " 2Я11 (■% +
р ^ (2.3.15)
* р , Л
Но, поскольку тл(гА) € Н суз , & С2) £ Н Су 1 ,
то в силу леммы 2.1
~ГГ §ГГ11С(%,л)С1+(%)с1% = 0 (1£К<+°о^ (2.2.16)