Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве

• Автор: Джиргалова, С.Б.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 127 c. : ил

Глава I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПРЯМОЙ

§ I. Пространства основных и обобщенных функций

§ 2. Классы коэффициентов, Факторизация ,

§ 3, Случай конечного числа нулей у коэффициента задачи

Римана в пространстве 1_^1цО)-со15

§ 4. Случай бесконечного числа нулей у коэффициента задачи Римана в пространстве

§ 5, Исключительный случай задачи Римана в пространстве

обобщенных функций на прямой

Глава II. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ОКРУЖНОСТИ

§ 6, Пространства основных и обобщенных функций

§ 7. Задача Римана в пространстве основных функций

§ 8. Задача Римана в пространстве обобщенных функций
ГС“1ХУГ
Глаза Ш. УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
§ 9, Уравнение типа свертки с м И- * ядрами"
§ 10. Интегрально-разностное уравнение Винера-Хопфа в
пространстве
§ II. Интегрально-разностное уравнение в пространстве

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Работа посвящена краевой задаче Римана и связанным с ней интегрально-разностным уравнениям типа свертки в пространствах основных и обобщенных функций.
Полная теория краевой задачи Римана и связанных с ней сингулярных интегральных уравнений, а также уравнений типа свертки изложена в монографиях [91 , [171, [181» [221 , [521, [ 551 . Отметим при этом основополагающие исследования Ф.Д.Гахова [91 и Н.И.%схелишвили [521.
Краевая задача Римана в пространстве обобщенных функций изучалась многими авторами. Постановка задачи, по-видимощу, принадлежит О.С.Парасюку [531 , рассмотревшему задачу в случае, когда контур - вещественная ось.
Изучение задачи Римана в пространстве обобщенных функций связано с тем, что в различных прикладных задачах, например, в теории автоматического управления и теории массового обслуживания, возникает необходимость исследования уравнения типа свертки в классах медленно растущих на бесконечности функций [43] . Впервые задача Римана в нормальном случае в пространстве обобщенных функций была решена Ю.И.Черским в работе [671, который применил ее для исследования интегральных уравнений типа свертки в классах растущих на бесконечности функций. Существенное развитие в теорию задачи Римана в обобщенных функциях внес В.С.Рогожин (см., например, [56] - [591 ). В.С.Владимиров рассмотрел задачу Римана в пространстве обобщенных функций многих переменных [41
Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций на вещественной прямой впервые рассматривал В.Б.Ды-бин [28] , [291 ♦ Полное решение этого вопроса в сдучае прямой

было дано в последующей за этим работе В.Б.Дыбина и Н.К.Карапе-тянца [391 » где было впервые показано, что в соответствующим образом подобранных пространствах основных и обобщенных функций краевая задача Римана с конечным числом нулей целого порядка у ее коэффициента подчиняется X- теории. После этого еще неоднократно ряд авторов возвращались к этому вопросу (см., например, [151 , [461 ,[ 471, [48], [511, [59] ,[60]/65]), в частности, в [59] была детально рассмотрена аналогичная ситуация на замкнутом гладком контуре.
Исключительный случай задачи Римана в пространстве обобщенных функций опирается на соответствующий случай в пространстве основных функций. Здесь для случая конечного числа нулей у ее коэффициента следует отметить результаты Л.А.Чикина [691, Ф.Д.Гахова и В.И.Смагиной [10] , последующие результаты достаточно полно изложены в монографии З.Пресдорфа [551 • Случай бесконечного числа нулей рассматривали В.Б.Дыбин и В.Н.Гапоненко [34] , М.И.Журавлева [41] , [42] , В.Б.Дыбин [33] . В работе[34) построена теория нормальной разрешимости задачи Римана, когда ее коэффициент имеет бесконечное множество периодически распределенных на вещественной оси нулей. В работах [41] ,[ 42] задача решается на луче методом Н.В.Говорова. В недавно оцубликованной статье [331 В.Б.Дыбиным рассматривается едучай общего распределения нулей с почти-периодической точкой сгущения.
Кроме краевой задачи Римана ниже рассматривается интегрально-разностное уравнение
£ с, ч!и-.цч+1 юл-атб'хЬ^и.х-и и.св.п
где и связанное с ним парное
уравнение.

<^^+,Ч!)=№+(а)кЩ> = <Р + ,Щ> • <5.7)
Применяя (5.6), (5.7), найдем :
(?^)ЧГл^! + у)-(Г+, /^Ш> +
На последнем шаге воспользовались равенством (Я? , Ч! )= 0 . Отсюда ( ї5, Щ ( Л/д Г++ Р ; 1^), где
(А/д ~ ( Р , Л/^^Ц] ) = (Р, [(лК^І (Щ(ХГ №дВДм)).(5.8)
Оператор Ад непрерывен в пространстве
Ц[0,оо}
, как соА . д
пряженный оператор к непрерывному в оператору вида (4.7). Отсюда Ф ~ Ад Р ^ Г .
Поэтому задача Р разрешима при любой правой части Р £
£_гСо 01 , то есть Ут
со}
Таким образом оператор 1ЬК непрерывно обратим, и его обратный оператор имеет вид
в;'=<2+*Р~ . с 5.э)
Так как равенства (4.9) справедливы и для оператора Ад , то обратный оператор к оператору РЬ будет определяться форцуС=Л/*Р++Г, С 5.10)
^ V И
где /V = П (IV ) * (5.II)
КМ Рк
ч '
а Л/д имеет вид (5.8),