Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами

• Автор: Савчук, Артем Маркович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
Глава
часть 1.
часть 1.2
часть 1.
часть 1.
Глава II
часть II.
часть II.
Глава III
часть III.
часть III.
Глава IV
часть IV.
часть IV.2
часть IV.
Список литературы

Введение
Многие задачи математической физики в ходе своего решения приводят к изучению обыкновенных дифференциальных операторов. Наиболее известным и хорошо изученным объектом в теории обыкновенных дифференциальных операторов является оператор Штурма-Лиувилля - оператор второго порядка, порождаемый дифференциальным выражением
Заметим, что к виду (1) приводятся более общие дифференциальные выражения второго порядка
где р(х) > 0.
При изучении операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на интервале (а, Ь) дифференциальным выражением (1) стандартным условием на функцию д(х) в случае конечного интервала является условие д(х) £ Ь(а,Ъ) (часто, чтобы не вдаваться в технические детали предполагается непрерывность д(х) (см. [1], [2])). В сингулярном случае, когда интервал (а,Ь) бесконечен, или когда функция д{х) имеет неинтегрируемые особенности на концах интервала, предполагается, что д{х) £ £щос(а,6).
В последние годы активному изучению подвергаются операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений. К изучению таких операторов и их многомерных аналогов —Д + д(х) приводят задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре [3], задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле, некоторые задачи квантовой физики. Математическое исследование подобных операторов проводилось в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фадцеева [4], [5], Р. А. Минлоса [б], А. К. Фра-гела [7], С. Альбаверио, Ф. Гештези, Б. Саймона [8], [9], [10], В. Д. Кош-маненко [11], [12], Ю. Г. Шондина [13] и других авторов. В этих работах изучались операторы Шредингера и Штурма-Лиувилля с точечными потенциалами и потенциалами, сосредоточенными на слое, некотором многообразии или дискретном наборе точек. Операторы с потенциалами, не являющимися (^-функциями, изучались менее активно. Так, в работах Ж. Гунсона [14] и П. Курасова [15] в одномерном случае изучался потенциал д(х) =
-у" + д(х)у.

Основная задача первой главы диссертации - дать корректное определение оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом д(х), являющимся сингулярным распределением первого порядка, более точно, при д(х) — и'(х), где и(х) £ 1*2(0,,Ь), а производная понимается в смысле распределений. Здесь оператор определяется явно, а случаи конечного и бесконечного отрезков рассмотрены отдельно. При этом возникает проблема однозначности определения такого оператора или проблема выбора ’’разумного” определения. Проблемы этого рода присутствуют во всех исследованиях посвященных операторам Штурма-Лиувилля с потенциалами - распределениями (равно как и при исследовании многомерных операторов Шре-дингера) и имеют тесное отношение к ’’физической перенормировке” потенциала. В данном случае оказывается, что для любой последовательности гладких функций ие(х), сходящихся в 1^(а,Ь) к и(х), последовательность операторов —(Р/(1х2 +и'е(х) имеет равномерный резольвентный предел — д?/<1х2 + и'(х). При этом оказывается, что условие и(х) £ Иг является существенным для наличия подобной сходимости. Некоторые способы определения операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами более высокой сингулярности изучаются в четвертой главе диссертации.
В первой части первой главы диссертации (часть 1.1) описан метод, позволяющий определить оператор Ь, действующий в пространстве 1<2[0,1]. с помощью дифференциального выражения (1) при условии, что потенциал д(х) является сингулярным распределением первого порядка, то есть д(х) = и'(х), где и(х) € ^[0,1], а производная понимается в смысле обобщенных функций ((д,р) = —(и,<р') для любой бесконечно дифференцируемой функции <р(х) с компактным носителем на (0,1)). Метод состоит в следующем. Введем квазипроизводную у^(х) = у'(х) — и(х)у(х) и перепишем выражение (1) в виде
Ку) = ~(У[1])' ~ и(х)у[1] ~ и2(х)у.
С квазидифференциальным выражением 1(у) свяжем максимальный оператор Ьм и минимальный оператор Ьт, определенные равенствами
Г Ьму ~ Ку),
Ъ(ЬМ) = {г/| у,уЫ е Ш/[0,1], 1(у) € 12(0,1)},
Г ЬтУ = 1(у),
V(Lm) = {у| у е Т>(Ьм),у(0) = ?/01(0) = 2/(1) = у[{](1) = 0}.
Функция и(х) не предполагается вещественной. Обозначим через 1(-у) дифференциальное выражение — у" +й'(х)у. Через Ьм и Ьт обозначим максимальный и минимальный операторы, порожденные 1(у). Оператор F с

Подставив его в краевые условия, получим
Уе(-1) =«1 = 0, уе( 1) = Ze{) + 02^(1) = О, т.е. а-2 = —ге(1)/фе(1). Если мы теперь покажем, что
11^0) - <^oWiU2[-i,i] + \Фе{х) - ^o(^)||i2[-i,i] ^0, (1.25)
то из формулы (1.23) будет следовать, что \ze{x) — 5г0(ж) К л2[—i,i] —> 0> отку-

да |а2(е) - а2(0)| —>0 и значит ||ys(x) - ?/o(^)IU2[-i,i] —>0. Таким образом, £—>0 £—>
доказательство сводится к проверке соотношения (1.25). Учитывая простой вид потенциалов qs(x), это соотношение можно доказать прямыми вычислениями, но для того, чтобы избежать утомительных подсчетов, мы докажем его другим способом.
Пусть
I ГО, при х £ [—1, -t] U [г, 1];
ие{х) = / qs{t)dt = < £~У2(х + е), при х £ [—£,0];
[ £~3/ (б - х), При X £ [0,6].
Обозначим также

О, при х £ [—1, —г];
2/0, ,, _ J 1/Зс—3(т + с)3, при х £ [-5,0];
уЛх) := / иЛЬ)(И = < , , /0 _з/ ’ з _ гп '
п ’ У а 7 ] 2/3+ 1/Зе л{х - г)ф при т € [0,е];
-1 [ 2/3, при ж 6 [е, 1].
При е > 0 в уравнении (1.22) можно сделать переход к системе двух уравнений первого порядка с помощью замены
УЛХ) = Уе(х),
У2,е(Х) = Уе(Х) + - ие(х))уе(х)
(в главе 4 станет ясно, что такая замена является на самом деле дальнешей регуляризацией дифференциального выражения (1.1) (см. 4.3)). Система будет иметь вид
Ух _ ( % -Ve 1 1(2/
У2 J V -Л + 2v£ue - v; v£ - ие J у-
(1.26)
Если уе{х) есть решение уравнения (1.22) в смысле определения 1, то в силу регулярности функций дг(х) при е > 0, у£{х) будет решением этого