Диагональные последовательности коэффициентов Лорана мероморфных функций многих переменных и их применение

• Автор: Почекутов, Дмитрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Асимптотика диагональной последовательности коэффициентов Лорана мероморфной функции
1.1 Амебы комплексных алгебраических гиперповерхностей .
1.2 Амебы произвольных комплексных гиперповерхностей .
1.3 Контур амебы и логарифмическое отображение Гаусса .
1.4 Основная теорема об асимптотике
Глава 2 Производящие функции диагональных последовательностей
2.1 Метод разделяющих циклов
2.2 Одномерные диагонали и интегральные представления
для них
2.3 Диагонали рациональных функций двух переменных . .
2.4 Диагонали размерности п —
Глава 3 Применение в статистической физике
3.1 Метод наиболее вероятного распределения
3.2 Среднее значение для чисел заполнения и коэффициент
Лорана
3.3 Условия простоты контура
3.4 Асимптотика средних для чисел заполнения
Заключение
Введение
По всей видимоеги. впервые диагональная последовательность коэффициентов сюпешюго ряда нескольких переменных была рассмотрена Пуанкаре в [9] при исследовании аномалий движения планет.
Поскольку не существует } шшсрс лльного опрсде юння асимптотического ряда, зависящего от нескольких переменных достаточно мотивированным является вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов ряда. Коэффициенты ряда Тейлора часто имеют комбинаторный смысл, поэтому такая задача является весьма важной в перечислительной комбинаторике (см. [34]). Метод Дарвина-Фаулера [18, 19] в статистической физике, с помощью которого находится основное состояние термодинамического ансамбля, сводш ся к задаче об отыскании асимптотики диагональной последовательное ги коэффициентов ряда Лорана некоторой мероморфной функции дв переменных.
В работе Цпха [15] была решена проблема устойчивости двумерного цифрового фильтра на основании описания асимптотики диагональной последовательности для ряда Тейлора мероморфной функции двух переменных. Подходы, намеченные в этой статье, а именно представление с помощью методов теории вычетов диагонального коэффициента

в виде осциллирующего интеграла и последующее изучение такого интеграла е помощью метода стационарной фазы, в случае многих переменных используются Пеманглом и Вильсоном [34].
В известной монографии [27] Гслъфапда, Зелевннского, Капранова было дано определение амебы алгебраической гиперповерхности. В работе [6] Лейнартаса. Пассарс. Цнха было показано, что перспективно описывать асимптотику диагональной последовательности ряда Лорана рациональной фукиции в терминах амебы полярной гиперповерхности и понятия логарифмического отображения Гаусса этой гиперповерхности. В ходе работы над диссертацией выяснилось, что при обобщении метода Дарвина-Фаулера на случай ансамбля, системы которого характеризуются п-мерными параметрами, необходимо рассматривать амебы произвольных комплексных гиперповерхностей.
При исследовании степенного ряда (но положительным степеням) весьма важным является вопрос прпнадтсжности суммы этого ряда какому-либо классу функций рациональных, алгебраических, О-конечных (Фурштенберг [26], Сафонов [11]. Донсф-Лппшнц [20, 29]). Некоторые признаки принадлежности могут быть получены в терминах диагональных последовательностей. Например, еще Полна в [35] заметил, что сумма ряда является алгебраична, если он является производящей функцией диагональной последовательности коэффициентов ряда Тейлора двух переменных, а Сафоновым в [12] доказано обращение этого факта.
Таким образом, вопрос об описании асимптотик диагональных последовательностей и их производящих функций привлекал внимание многих исследователей на протяжении последних ста лет. Он остается ак реальным и в настоящее время, причем не только для рациональных, по и для мероморфпых функций.
Цель диссертации состоит в построении конструктивных формул для асимптотик диагональных последовательностей коэффициентов

Глава 2. Производящие функции диагональных последовательностей
Нас гоящая глава посвящена изучению производящих функции диагональных последовательностей коэффициентов Лорана рациональных функций. Диагональные ряды (диагонали) степенных рядов от многих переменных естественно возникают в проблемах алгебраично-ети или Д-финитпостн сумм степенных рядов ([37], гл. 2).
Диагональю степенного ряда (ряда Лорана)
назовем производящую функцию подпоследовательности коэффициентов {са}а€Ь, пронумерованной некоторой подрешеткой Ь С 2". Такие диагонали мы будем называть полными. Диагонали различают по размерности (рангу) указанной подрешетки. Наибольший интерес представляют два предельных случая: ранга 1 и ранга п — 1. В случае ранга 1 полная диагональ естественно разбивается в сумму односторонних диагоналей: подрядов по положительным и отрицательным степеням. Аналогично, в произвольном случае можно рассматривать аналог односторонней диагонали как производящую функцию подпоследовательности, пронумерованной некоторой полуподрешеткон и С Ь.