Гомологические характеристики некоторых функциональных банаховых алгебр и связанные с ними вопросы геометрии банаховых пространств

• Автор: Кричевец, А.Н.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 c. : ил

Основная тема настоящей работы - вычисление важнейших числовых характеристик коммутативных банаховых алгебр - их глобальных гомологических размерностей. Главные результаты группируются вокруг следующих тем:

гомологические характеристики максимальных идеалов коммутативных банаховых алгебр,

наличие или отсутствие замкнутых дополняющих подпространств у некоторых подмодулей данного модуля и связанные с этим гомологические характеристики,
так называемые формулы аддитивности - соотношения между гомологическими характеристиками тензорных произведений банаховых алгебр и модулюй и соответствующими характеристиками сомножителей.
Исторический обзор литературы по этим вопросам следует начать с чисто алгебраических работ Хохшилъда [)21 ] и [22] , где были определены группы когомологий НП(А;Х) алгебры А с коэффициентами в бимодуле X . Важным приложением этих групп явилось исследование радикальных расширений алгебр, проведенное в работе [2і] ( так называемые теоремы ведцерберновского типа) . Следующая работа, принадлежащая Камовицу [2б] , касалась уже банаховых алгебр. В ней было дано оцределение групп когомологий банаховой алгебры с коэффициентами в банаховом бимодуле (по традиции эти группы называются группами когомологий Хохшилъда ) и рассмотрены их приложения к сингулярным расширениям банаховых алгебр.
Упомянем еще работу Джонсона, который в терминах групп когомологий определил аменабельные банаховы алгебры и установил

связь этого понятия с уже известным понятием аменабельной группы |23]. К настоящему моменту известны интерпретации первых трех групп когомологий Хохшильда. Например НЧД, X ) = О тогда и только тогда, когда всякое дифференцирование А со значениями в бимодуле X является внутренним (напомним, что линейный непрерывный оператор Sb: Д —? X называется дифференцированием, если &(схв)= + а • cb(&) ), т.е. порождено
некоторым X ^ X Ж £Ь(а)=а-Х-Х-а . Группа Н*(А,Х). как уже упоминалось, связана с расщепимостью сингулярных расширений банаховой алгебры [26] . Установлена связь между устойчивостью банаховой алгебры к малым возмущениям операции умножения и группами Нг(А, А) и Н3(А,А) [24] , [31].
В 1970 году А.Я.Хелемский ввел в рассмотрение относительную категорию банаховых модулей (ilj (некоторые определения этой работы будут повторены в главе I) . В этой категории каждый объект обладает допустимой проективной резольвентой, поэтому в ней можно определить производные функторы, в том числе Exf и Тог . Это нововведение позволило вычислять когомологии Хох-шильда, пользуясь известными формулами, связывающими эти группы с группами Exf . Цреимущество этого метода заключается в том, что вместо стандартных резольвент, используемых для вычисления групп когомологий, для вычисления производных функторов можно использовать любые допустимые проективные резольвенты.
В терминах функторов Exf и Тог некоторые уже известные результаты получили более ясные формулировки (например, уже упоминавшаяся теорема Джонсона - см. работу 0Еб] ) . Кроме того выяснилось, что такие характеристики, как гомологическая размерность модулей, глобальные размерности алгебр и т.д., имеют и самостоятельное значение. Упомянем, например, работы
Ей], [к], в которых установлена связь между проективностью идеала коммутативной банаховой алгебры и паракомпактностью его спектра, работу рЗ] , где с помощью функтора То Г вычисляются группы когомологий алгебры С (22) для некоторого класса компактов, работу £Г7] , в которой с помощью проективных и инъективных резольвент вычисляются группы когомологий локально компактной группы, работы £э] и [io] , в которых из гомологических свойств банаховых алгебр выводятся некоторые их структурню свойства, недавнюю работу [I9J , в которой гомологические характеристики банаховых алгебр связываются с наличием у них аналитической структуры.
Переходим теперь к обсуждению воцросов, непосредственно касающихся данной работы. Центральным из них является вопрос о глобальных размерностях коммутативных банаховых алгебр, и в частности алгебр С (12) всех непрерывных функций на хаусдор-фовом компактном пространстве. Первые результаты принадлежат
А.Я.Хелемскому, который доказал, что глобальная размерность так называемых бицроективных алгебр не превосходит двух [14] . Рассмотрев далее алгебру С0 сходящихся к нулю последовательностей и модуль Cg над ней, состоящий из ограниченных последовательностей ( норма в обоих случаях равномерная) , он показал, что гомологическая размерность этого модуля равна двум, а так как алгебра С0 бипроектиша, то, следовательно, её глобальная размерность также равна двум
Напомним, что в "•чистой" гомологической алгебре глобальная размерность алгебры равна верхней грани гомологических размерностей циклических модулей, т.е. модулей вида А/1 , где А алгебра, а I - некоторый её левый идеал (теорема Ауслендера

£1т. .Вместо неё будем писать 'З .
Р.-г<*о 6-^°°
^ п- • Г рч *(Л Введем также выражение у 3- 14 <-к.^с4 <-ц)?
которое следует понимать так: {р4,...; °^сп)*- выборка без повторений из набора {1, . ,И.^ ; Ц^=- 4^7. • • > 4,-Г
- переменные, встречающиеся под знаком предела, совпадают; остальные переменные зафиксированы. Например, выражение
расшийровьшае тся так:
1^е° сЛ.-Г (М°°
Лемма 3.2.3 Существуют последовательности 14 =!>*••; *■ й. =Р
для которых существуют все пределы вида •
при всех значениях Щ=4, ...; (X . ч. т
•4 фи заданном *Х выражений —> имеется
°<11 Ш
штук. Для получения искомых последовательностей достаточно
2. С^мтг[ раз применить лемму 3.2.2, каждый раз производя т
перенумирацию переменных, чтобы под знаком предела получить
выражения г: ~г>
> ’ " 11Чтобы упростить обозначения, нижеследующие предложения будем
доказывать лишь для одной комбинации переменных - под знаком о■ *
будет встречаться ^ , а под знакам " —"