Главные значения некоторых многомерных сингулярных интегралов

• Автор: Кацунова, Анастасия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 101 с.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Строго псевдовыпуклые области
1.2 Интегральное представление Хенкина-Рамиреза
1.2.1 Главное значение интеграла Хенкина-Рамиреза
1.2.2 Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла Хенкина-Рамиреза
1.3 Интеграл Бохнера-Мартинелли
1.3.1 Интегральное представление Бохнера-Мартинелли
1.3.2 Главное значение интеграла Бохнера-Мартинелли
1.3.3 Дифференциальные формы ирл
1.3.4 Оценки некоторых интегралов
1.3.5 Формула Пуанкаре-Бертрана для интеграла Коши
1.3.6 Формула перестановки и формула композиции для
интеграла Бохнера-Мартинелли
1.4 Интеграл Коши-Сеге в шаре из Сп
1.4.1 Интегральное представление Коши-Сеге
1.4.2 Главные значения интеграла Коши-Сеге
2 Особый интеграл Бохнера-Мартинелли
2.1 Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла
Бохнера-Мартинелли

2.2 Вспомогательные результаты
2.3 Формула перестановки для интеграла Бохнера-Мартинелли
2.4 Формулы композиции для интеграла Бохнера-Мартинелли
3 Особый интеграл Коши-Сеге в шаре из Сп
3.1 Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла Коши-Сеге
3.1.1 Вспомогательные результаты
3.1.2 Формула перестановки для интеграла Коши-Сеге
3.2 Главное значение по Коши интеграла Коши-Сеге
3.2.1 Вспомогательные результаты
3.2.2 Формула перестановки для интеграла Коши-Сеге
Заключение
Список использованных источников

Введение
Одним из мощных конструктивных методов в теории голоморфных функций является метод интегральных представлений. Интегральное представление выражает значения любой функции, голоморфной в области, через ее значения на границе или на части границы области. Интегральная формула, предложенная Коши в 1831 г., играет основополагающую роль в теории голоморфных функций одного комплексного переменного. Интегральная формула Коши (см., например, [6, 18, 25]) справедлива для функций, голоморфных внутри области и непрерывных в замыкании области.
Если требовать лишь непрерывность функции на границе области, то говорят об интеграле типа Коши (см., например, [18]). Для точек, лежащих на границе, интеграл Коши становится особым (сингулярным) и расходящимся в обычном смысле. Дальнейшее рассмотрение граничных значений такого интеграла привело к понятию главного значения по Коши (у.р.) особого интеграла и к нахождению формул, предложенных в работах Сохоцкого [21] и Племеля [36], которые нашли применения в механике.
Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории краевых задач голоморфных функций комплексного переменного, которая имеет многочисленные приложения в задачах математической физики (см., например, [15]). Особую роль в теории краевых задач играет формула перестановки повторного сингулярного интеграла, предложенная Пуанкаре в [37] и Бертраном в [28] для интеграла Коши, с ее помощью можно

Сделаем подстановку г2 = ytj, > 0, ] — ,п — 1; тогда rj drj | сИ]. Значит,
Г <1(Ъ'С) А б?(Ь'С0 (—27гг)п_1 [ (И... еЙп
1СТ<У Vі " 1 7 &+...+£
Ьг Ь ,
1 гг
(-2™)-' ПЙІ-І
("-!)!
Таким образом, получим
(-1)" 1 (п - 1)! [ [ Сп (1(Ь[п([п) Лсг(ЬС)

(27гг)" У У |6С|
х2+у2=4е2_ |('|2<г/ у>0

_± [ ш=: ч 7
"2"г /, ге:;<%+4б*)4” и
хг--уг=Аег.
У> О
Рассмотрим отдельно
Сп <Сп = (х — гу)(йх + idy) = хйх + ус1у + г{хйу — уйх)
= г (хс1у + —йу = — 4е2 (1у.
х ) х
Это верно, так как х2 + у2 — 4е2 или с1х = — <1у. Следовательно,

к (п <Кп
± [ Ъ
, 4е2 т=мУ+)
х2+у2 = 4е2, У> О
= ±_ [ Щ=1 ь уп 1 лу
2*2 { 2 ш:1(+4е2) *
х+У —4є, у>0
Введем полярную систему координат
х = Я собі, у — Ябіпі, Я = 2є, 0 < і < 2тг.