Бифуркации экстремалей симметричных фредгольмовых функционалов в краевых особых точках

• Автор: Данилова, Ольга Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 с. : ил

Оглавление
Введение

1. Конечномерные редукции фредгольмовых функционалов

1.1. Потенциальные фредгольмовы уравнения

1.2. Конечномерные редукции

1.3. Общая схема редукции Ляпунова - Шмидта.

1.4. Практическая схема локальной редукции

1.5. Функционалы с симметрией параллелепипеда.

2. Краевые экстремали. ; ..

2.1. Краевые особенности гладких функционалов

2.2. Редукции функционалов с симметрией

2.3. Симметричное однородное ограничение
2.4. Неоднородное симметричное ограничение
2.5. Комбинированное ограничение
2.6. Исключительный случай
3. Анализ симметричных возмущенных двумерных
сборок при наличии полуограничений
3.1. Возмущенная двумерная сборка с симметрией параллелепипеда

3.2. Ограничение £1 >
3.3. Ограничение £1 > с
3.4. Ограничение р£* + д£г >
4. Приложения
4.1. Бифуркации равновесных конфигураций упругой пластины
4.2. Вариационная краевая задача для обыкно-
венного дифференциального уравнения четвертого порядка
Литература
Введение
В оптимальном управлении, теории упругих систем, теории фазовых переходов и других разделах современного естествознания естественным образом возникают нелинейные вариационные задачи вида
V(x) —»inf, д(х) >0, х € М
(с полуограничением), где V(x),g(x) — гладкие функционалы на гладком банаховом многообразии М [26], [34], [47]. Такие задачи приводят, в частности, к вопросу о бифуркациях экстремалей вблизи края банахова многообразия [1, 12, 30, 35, 40, 50].
Бифуркации экстремалей в классической ситуации (без по-луограничений) достаточно хорошо изучены на основе метода конечномерной редукции (см. [34], [26], [40] и литературу в этих источниках).
Используемое (в большинстве известных работ) условие фред-гольмовости функционалов позволяет применять различные схемы конечномерной редукции (схемы Ляпунова - Шмидта, Морса - Ботта и их обощения), дающие возможность применения в бесконечномерных экстремальных задачах достижений современного анализа гладких функций конечного числа переменных.
В теории особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях имеется раздел, связанный с анализом так называемых краевых особенностей (В.И. Арнольд [3],[2], С.Т.С. Уолл [60], Д. Сирсма [59], Д. Пит, Т. Постон, И. Стюарт [34] и др.). В частности, В.И. Арнольдом сформулирован принцип отожде-
однозначно разрешимо при всех £ и его решение и = /г(£) гладко
зависит от £ — по теореме о неявной функции. Из (7) получаем
Ф(() = У{£(& + Ц()). (9)

Переход от функционала V к ключевой функции ]¥ называется редукцией по схеме Ляпунова - Шмидта или просто редукцией Ляпунова - Шмидта.
Замечание 2. Существует не вариационный вариант редукции Ляпунова - Шмидта: от уравнения (1) осуществляется переход к уравнению
©(£) = 0, £ £ ВТ, (10)
которое называется уравнением разветвления и 0(£) определяется следующим образом

е«) = (е,К),...,в»«)), где е*(?) = Такое определение уравнения разветвления дал Ляпунов [29, 11].
Замечание 3. Легко заметить, что
0(0 = дгадШ (£).
Предложение 2. (Ю.И. Сапронов) Пусть отображение (8) является собственным и пусть при этом выполняется условие положительности (5). Тогда маргинальное отображение
р : £ —> Е + й(£); где й(£) определено уравнением (8), уста-

навливает взаимно однозначное соответствие между критическими точками ключевой функции (6) и заданного функцио-