Рациональные аппроксимации некоторых классов голоморфных функций

• Автор: Воротников, Вячеслав Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление
Введение
1 Асимптотики наилучших рациональных приближений экспоненциальных функций в равномерной метрике со специальным весом
1.1 Аппроксимация на отрезке [—1,1]
1.2 Аппроксимации на замкнутых односвязных областях из С, ограниченных лемнискатами
2 Оценки сверху наилучших рациональных приближений с весом голоморфных функций из некоторых классов в равномерной и интегральных метриках
2.1 О голоморфных в единичном круге О функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к границе сЮ
2.2 О голоморфных в угле функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к вершине угла
2.3 О голоморфных в полукруге функциях, имеющих определенное поведение при стремлении к центру круга
2.4 О приближениях функций, голоморфных в некоторых областях, границы которых содержат точки ноль и бесконечность, на симметричных множествах
Литература

Введение
Как обычно, символами М, Ж, К и С обозначим соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел. Пусть С (Е) — пространство непрерывных функций / на замкнутом множестве Е С С с равномерной нормой
Если тип принадлежат множеству целых неотрицательных чисел 2+, то гтп{ЯТпп) — совокупность рациональных функций с действительными (комплексными) коэффициентами, степень числителя которых не превосходит ш, а степень знаменателя — п. Для непрерывной на Е функции д положим
Запись А ~ Б, означает, что при т 4- п —» оо эти величины эквивалентны. Символом о(-) обозначаются различные бесконечно малые величины (по отношению к стоящему в скобках) при т + п —» оо.
В главе I получены асимптотики наилучших рациональных приближений со специальным весом в равномерной норме некоторых экспоненциальных функций на отрезке [—1,1] и на замкнутых односвязных областях из комплексной плоскости С, ограниченных лемнискатами, определяемыми аппроксимируемой функцией.
Теорема 1. Если заданы числа т, п € Z+, а S 1, действительная величина ß — о(у/т + п) при т + п —>■ оо и фиксирован многочлен Чебышева T'k(x) — cos(karccosх), то справедлива асимптотика
11/||с(£0 =max|/(2)|.
2Е-С'
rm,n(f,E’,g)= inf \{.f - r)g\C(E),
r&rm,n
Rm,n(f,E; g) = inf || (/ — r)g\C(E)-
am+n+lmn
m + n —> oo.
2m+«(m _|_ и)!(т + n + 1)!’
Эта теорема, в частности, показывает, что найденная асимптотика имеет главный член, который не зависит от весовой функции е^Тк^х несмотря на то, что в каждом из концов отрезка [—1,1] вес может или достаточно быстро расти или убывать к нулю. В случае к = 1 приведенная теорема даёт асимптотическое равенство
(ах г і и вх ат+п+1пгп
1'тпё , [—1,1];ер ~—-— , т + п —у оо,
т’ у *1 ’ ^ > 2ш+п(т + п)(т + п + 1)!
которое при т — п и /3 = —а получено Г. Неметхом в работе [18], при (3 — 0 и а — 1 —Д. Браессом [25], при (3 — — (т + 3п)/2(т + п) и а = 1 — Д. Ньюманом [32].
Теорема 2. Если заданы числа т,п є а > 0, действительная величина (3 = о(у/т + п) при т + п —> оо и многочлен с действительными коэффициентами степени к такой, что лемниската' С{а) = {( £ С : І-РДОІ = а} ограничивает односвязную замкнутую
область Єа, то при т + п —»■ оо справедливы асимптотики
пт+п+1гпп
~ Щтм(еР^Са;е^) ~ т-
4 7 7 (т + пу.(т + п +1)!
Приведённая теорема при НДС) = °С? = {•£ £ С : |Д < 1} и (3 = О
содержит результат Л. Трефетена [40]:
ат+п+1т!гг!
йт,„(еа?,{ф| < 1};1) ~ -———г------——-—т + п -> оо.
4 (т 4- гг)!(т + п 4- 1)!
Глава II посвящена рациональным аппроксимациям функций, голоморфных в единичном круге, угле, полукруге и более сложных областях, имеющих определенное поведение при стремлении к некоторым их особым точкам. Приближение рассматривается в равномерной и интегральных метриках с весом на специальных множествах из комплексной плоскости, содержащих эти выделенные точки на своих границах.
В первом параграфе главы II рассматриваются голоморфные в единичном круге В функции /, для каждой из которых найдется натуральное число к, векторы ск = (ар,..., ак),в = (ф,... ,0*) £ Iі и постоянная величина М(/) такие, что

1/М1<м(/) 2€°-

Лемма 3. Пусть при фиксированных числах: положит,ельном о, натуральном т > 11(7 + 6 и

_ е%у/{т-та)1<г /g 12)
где величина т0 задана в (2.9), равенством (2.11) определена функция
A(z) = А(а, и>, т; z).
Тогда для всех z £ Ys( 1/2) и каждого е € [0,1] выполнено неравенство
z{1-£)crA(z) < Се{£~1)п'S, (2.13)
где сектор Ys(r) определен в (2.3).
Доказательство леммы 3. Так как при заданных значениях е £ [0,1] и а > 0 каждая функция z^l~£^A(z) голоморфна в полуплоскости Rez > О и непрерывна при Rez > 0, то из принципа максимума модуля следует, что оценку (2.13) достаточно доказать на границе dYe( 1/2), а в силу равенства |А(г)| = |А(г)| ее достаточно провести на множествах
Гг = {г = те'2, х £[0,1/2]},
Г2 = {z = е^2/2, Ф£ 0,е]}.
Заметим, что при фиксированных положительных числах а и & функция
о - Ье}у

’а2 Ab2 - '2ab cos у а2 + b2 + 2ab cos у
возрастает на интервале у € (0, я), так как (с — с1соиу1 2сс18ту л
> о "Р" » е 0- *) " Р.'е (0. +°°)- (2-15)
Таким образом, лемма 3 будет доказана, если оценку (2.13) получить на Гь Пусть г Е Т1, х = г.