Гармонический анализ Фурье-Данкля и приближение функций

• Автор: Белкина, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 92 с.

Оглавление
Введение

1 Обобщенные сдвиги Бесселя и Данкля

2 Теоремы джексоновского типа

3 Функциональные пространства Никольского и Бесова

4 Эквивалентность А-функционалов и модулей гладкости

5 Функции, удовлетворяющие условию Липшица

6 Аналоги неравенств Никольского-Стечкина и Боаса

Литература

Введение
В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига /(ж) нД- /(ж + у), х,у Е М. Так инфинитезималь-ным оператором сдвига является оператор дифференцирования, преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига, оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых п обратных теорем теории приближения. Различные обобщения операторов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операторов сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рассмотрены в работах П. Бутцера, X. Беренса и А. П. Терехина (см. [35], [41]).
Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые "операторы обобщенного сдвига". Единого определения понятия обобщенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по произвольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля второго порядка (см. [21]), но существуют также и другие операторы обобщенного сдвига (например несимметричные обобщенные сдвиги (см. [31], [30]). Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспо-

соблены для изучения связей между гладкоетными свойствами функции и иаилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматривались в работах Я. Лёфстрема и Я. Петре [50], 3. Дитци-ана и В. Тотика [44], П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса [42], А. Г. Бабенко [2], М. К. Потапова [27, 29, 30, 31], М. К. Потапова и В. М. Федорова [28], Д. В. Горбачева [15], X. П. Рустамова [33], 3. Дитциана и М. Фелтена [45].
На полупрямой Е+ = [0, +оо) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с дифференциальными операторами Бесселя (см., статью Б. М. Левитана [20] и книгу И. А. Кипри-янова [18]). С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т.е. раздел гармонического анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работах С. С. Платонова (см. [24]—[26]) с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались различные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +оо) в метрике Ьр со степенным весом целыми функциями экспоненциального типа.
В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов — обобщенные сдвиги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым дифференциально-разностным операторам (операторам Данкля), которые широко используются в математической физике (см., например, [46], [48], [51], [55], [56]).

Из единственности решения задачи Коши (1.15)—(1.16) тогда следует,

Туеа(Хх) = еа(Ху)еа(Хх). (1.72)
Лемма 1.5. Пусть / Е а, тогда
(Tyfj(X) = еа(—Ху) /(А), (1.73)
где /—>/ — преобразование Данклл.
Доказательство. Для функций f Е V равенство (1.73) доказано в [53, Corollary 5.4]. Так как V является плотным подмножеством в то (1.73) остается справедливым и при / Е La- □
Свертка функций <р(х) и f(x) на R определяется соотношением

(/ * <р){х) = J {Т~у f(x)) р(у) y2a+1 dy. (1.74)

Свертка имеет смысл, если определен интеграл в правой части (1.74), в частности, когда р, f Е Сс, причем тогда и свертка f * р принадлежит

Лемма 1.6. При преобразовании Данкля свертка функций f,pECc переходит в произведение, т. е.
(/ТЙ(А) = /(А)£(А). (1.75)
Доказательство. Изменяя порядок интегрирования и используя соотно-