Восстановление дробных степеней оператора Лапласа функции по ее неточно заданному спектру и неравенства колмогоровского типа

• Автор: Сивкова, Елена Олеговна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с. : ил.

Оглавление
Введение

Предварительные сведения

Глава 1. Восстановление лапласиана функции в метрике L2(IRd) по ее преобразованию Фурье, известном точно или

Приближенно В Метрике Z/2

Глава 2. Восстановление лапласиана функции в метрике L2{Rd) по ее преобразованию Фурье, известном точно или

приближенно в метрике Loo

Глава 3. Восстановление лапласиана функции в метрике L0O(R В метрике Loo
Литература

Введение
1. Работа посвящена вопросам оптимального восстановления дробных степеней оператора Лапласа функций па по информации о преобразовании Фурье самой функции, известном точно или приближенно (в той или иной метрике) на некотором подмножестве Жй, а также тесно связанным с этим вопросам существования точных неравенств для дробных степеней оператора Лапласа, являющихся аналогами неравенств колмогоровского типа для производных.
Во многих прикладных задачах возникает ситуация, когда требуется восстановить какую-либо характеристику объекта по некоторой информации (которая обычно не точна и не полна) о других его характеристиках. Например, необходимо восстановить функцию в точке, или интеграл от нее, или саму функцию целиком (в той или иной метрике) по информации о ее значениях в других точках, о ее преобразовании Фурье, коэффициентах Тейлора и т. п. Существует множество подходов к решению подобных задач. Здесь мы следуем подходу, который предполагает наличие априорной информации об объекте, характеристики которого требуется восстановить. Это позволяет поставить задачу о нахождении паилучшего метода восстановления данной характеристики среди вообще всех возможных методов восстановления. Такой взгляд на задачи восстановления идеологически восходит к работам А. Н. Колмогорова [1] 30-годов прошлого века о нахождении иаилучших средств приближения для классов функций. Математическая теория, где изучаются задачи восстановления на основе указанного подхода, активно развивается в последние десятилетия.
Предшественником тематики, связанной с оптимальным восстановлением функционалов, можно считать задачу Колмогорова-Никольского о наилучших квадратурах (см. [2]). Ее простейшая постановка такова. Пусть IV — некоторое подмножество (класс)

непрерывных функций па отрезке [а, 6] и пусть фиксированы точ-ки а = х1 < . < хп < Ь. Для каждой функции /() е У мы
женную формулу 52Г=1 Рг1(хг)> гДе Коэффициенты рг, 1 < * < П, следует выбрать так, чтобы эта формула осуществляла наилучшее приближение интеграла сразу для всех функций из IV. Точная постановка задачи состоит в том, чтобы найти величину
где нижняя грань берется по всем наборам (рь... ,рп), и тот набор, на котором эта нижняя грань достигается. Этот набор и будет задавать искомую квадратурную формулу.
На данную задачу можно посмотреть несколько иначе. Функции из V/ известны неточно, а именно, о каждой функции /() Є IV известен вектор (/(жі),.. ,/(жп)) - набор ее значений в точках Хх
Чу) = ИГ=1 'РгУх (У = {Уъ --,Уп)), и ее значение на векторе (/(її), , /(.Тп)), т. е. величину ХГ=і Рг/(ж*)> принимаем за оценку интеграла /{х)йх сразу для всех функций /() є IV. Погрешность такой оценки определяется величиной
Нас, естественно, интересует та линейная функция, на которой эта погрешность минимальна. Такую функцию можно назвать оптимальным методом восстановлением интеграла на данном классе функций.
Отсюда один шаг до общей постановки. Пусть X — линейное пространство, IV — непустое подмножество (класс) элементов в X и 1„ г = 0,1
хотим вычислить интеграл /(х) (1х, используя для этого прибли-
пЛ Бир
Р1,- ,Рп Д )ЄІу

Л )еш
Отсюда следует, что Е2{(—Д)2, И'2“2(КЙ), {А), 0) < гАа Вместе с предыдущей оценкой это означает, что
Е2((-А)22(Ш%Ь2(А),0) = гА{а-0)
и что т — оптимальный метод. Утверждение 2) теоремы доказано.
4. Докажем третье утверждение теоремы. Как и раньше, начинаем с оценки снизу величины Е2({—Д)<3|/2, У2(К11), Ь2(А), 5), квадрат которой, по доказанному выше, не меньше значения задачи (1.2).
Начнем со случая, когда А = К . Для нахождения значения задачи (1.2) рассмотрим (как и в предыдущем пункте) ее расширенный вариант (“заменяя” (2ж)~л(Е/)(£)2 <1£ на с£д(£))
[ |£|25сН?) -> тах, [ <1ц(£) <
Jшd (2тг)
/ |е|2“(0<1, (-)>0. (1.11)

Снова можно записать соответствующую задачу на минимум, которая будет выпуклой задачей. Условие Слейтера выполнено и поэтому ее функцию Лагранжа пишем сразу с Ао
С(М-), А) = - [ МО + >1 / МО + *2 [ |£|2“
-!жл
= / (-1(Г + А1 + а2|<|2“)(0,

где А = (1-Аь А2)
Согласно теореме Каруша-Куна-Таккера для того, чтобы допустимая в задаче (1.11) мера ЙД(-) была ее решением, необходимо и достаточно, чтобы нашлись множители Лагранжа А! > 0 и А2 > 0 такие, что
/ НеГ+-Ь Аа|£|а“)ф*(0>
J«.d
> [ Н + 1 + Ш2а)с1Ш) (112)

для любой меры йц(-) > 0 и
~х'{1лт--£у)-°' %(1.13)