Вопросы спектрального и асимптотического анализа для дифференциальных уравнений и матриц

• Автор: Титов, Василий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оґлор исследований, связанных с диссеріационной 'іе.мой

Описание резулыаюв диссеріации

1 Об асимптотических свойствах решений дифференциальных

и разностных уравнений

1.1 Асимптотики чипа ВКБ для решений дифференциальных и

разностных уравнений

1.2 Уравнение (12) с точкой поворот и переменная Лангера

1.3 Преобразование Лиувилля и схема доказательства теоремы

1.4 Подюювшельные материалы

1.5 Доказательсіво теоремы

2 Квазиклассические асимптотики и концентрация спектра краевой задачи для уравнения с точкой поворота
2.1 Геометрия кривых и ",+
2.2 Геометрия кривой
2.3 Характеристические определители
2.4 Зоны, свободные от спектра задачи (12)-(13)
2.5 Локализация спектра задачи (12)-( 13) вблизи кривой
2.6 Концешрация при малых £ > 0 собственных значений
задачи (12)-(13) вблизи кривых
3 Двупараметрическая задача Штурма-Лиувилля и бифуркация спектра
3.1 Постановка задачи и формулировка результатов
3.2 Результаты численного анализа
3.3 Кратность собственною значения —і/у/3 задачи (3.3)-(3.2)
3.4 Бифуркация спектра задачи для уравнения Эйри
3.5 О деформации жордановой клетки
Приложение
Литература
В различных обласіях математической физики возникают постановки вопросов о локализации собственных значений краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и распределении спектра операторов, заданных матрицами или зависящими от параметра маїричньїми семейсівами. Эффективным средсівом, используемым для изучения этих вопросов, являются асимніоіические и численно-аналитические меюды. Применение и развитие этих меюдов сосгавляюі предмет настоящей работы.
Обзор исследований, связанных с диссертационной темой
При исследовании спектральных краевых задач для дифференциальных уравнений вюрого порядка эффектвно применяются метод ВКБ, предназначенный для построения асимптотик решений в областях, не содержащих точек поворота, и меюд Лангера, позволяющий выписывать асимптотики решений вблизи таких точек. Вопросам, связанным с развитием и описанием указанных методов, посвящено большое количество работ и монографий (обширную библиографию можно найти в [20], [27] и [47]).
Первые результаты, заложившие основу метода ВКБ, восходят к Ж. Ли-увиллю и Дж. Грину, которые в 1837 юду рассмотрели в своих работах заданное на вещественной оси дифференциальное уравнение (ДУ) вида
~ Ф)/У = 0, (1)
где £ > 0 — малый параметр. Оба автора заметили, что при условии вещественности и достаточной гладкости потенциала q(z) функции
=) = ФГ1/,ехр{±7Г/2 У у/Ф)^}
представляют собой "почти" решения рассматриваемою у]>авнения в следующем смысле:
Л //±(~, -) _ £) = 0(г]/‘2у±(г, £)), £ 4. 0.

При этом, Лиувилль установил, чю на любом конечном отрезке, не содержащем нулей функции г/(~), ДУ (1) обладает решениями у±(~, с), асимптотически (при £ | 0) представимыми в форме
!/±(-.=-) = Ы-*,г)(1+0(с|Д) (2)
с равномерными по переменной с оценками остаточных членов.
Процедура, использованная Лиувиллем, состоит- в следующем. С помощью последовательных замен независимой переменной £ = £(~) и искомой функции ш = Д/у уравнение (1) приводится к виду

(точкой обозначено дифференцирование по £), затем функция £(г) выбирается таким образом, что У2{/(~(£)) = 1, то есть £(г) = /' у/у(,ч) (1з. Условие (£) гто сравнению с ие-личиной £-1. Исходя из этого устанавливаегся, что решения последнего уравнения асимптотически (при е 0) эквивалентны соответствующим решениям "уравнения сравнения" й) = £_1ш. Предположение ф 0 оказывается существенным: формулы (2) непригодны в окрестностях точек поворота -нулей функции q(z).
Решение уравнения (1), аппроксимирующееся с одной стороны от точки поворота какой-либо из формул (2), с другой стороны представляется в форме линейной комбинации "приближений Лиувилля-Грина" (2). Определение коэффициентов этой линейной комбинации как функций параметра £ представляет собой проблему "перехода" (или проблему нахождения "формул святи").
В 1926 году Дж. Ветцель, Г. Крамере и Л. Бриллюэн в процессе исследования уравнения Шредингера использовали приближения Лиувилля-Грина и решили возникшую проблему перехода. Формулы (2) принято, также, называть ВКБ-нриблнжениями, а подход, позволяющий выписывать эти приближения с оценкой остатка, — методом ВКБ.
Дж. Биркгоф рассмотрел ДУ вида (1) в предположении, что функция q(z) аналитична и не обращается в нуль в некоторой области. В рабою [33] выделены подобласти, в которых уравнение (1) имеет решения, асимптотически при £ -> 0 представимые формулами (2) с равномерными оценками остатков. При этом использовалась техника канонических путей: кривых, вдоль которых функция ВеУРЛД«) т/.$ монотонна. Распространение результатов Лиувилля в комплексную плоскость оказалось возможным, в частности, благодаря тому, что для получения главного члена асимптотик применялись преобразования, не использующие замену не зависимой переменной.
и 01 метим, чю ,7± С Г*. Ниже, в лемме 1.1, устанавливается существование в П нулей функций £(±1, А). В предложении 1.2 будет показано, что ли нули являются концами кривых Г+, Т+ и Г-, Т- соответственно.
Ац + + Н)
рис.
Лемма 1.1 В прямоугольнике П уравнение сц(А) = ±1 имеет единственное решение /т± = а± + г/5±, совпадающее с нулем (функции £(±1, А). При этом,
3/5 < ±(а± - ни) < 3, (3± - Ь0 < 6/5.
Доказательство. Ограничимся отысканием корней уравнения дг0(А) = 1. Согласно лемме 2.1 главы 1, функция
'<А> :
регулярна на П и справедлива оценка | (А)| < 2/3, А £ П. Зафиксируем контур С = {(А - А0 — 9/51 = 6/5}, расположенный в П ввиду условия В ^ 6/5 и ограничения о > (16 + /3)/5 > 3. Для А £ С имеем
~о(А) — 1 = А — Ао— 1 + (А — А0) (А),