Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций

• Автор: Мусин, Ильдар Хамитович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 226 с.

Основные обозначения и определения

Глава 1. Весовые пространства бесконечно

дифференцирумых функций на числовой прямой

1.1. Пространство £(<р)

1.1.1. Определение пространства £[}р) (40). 1.1.2. Полнота многочленов в £(<р) (41). 1.1.3. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов из £'{ф) (48). 1.1.4. Описание £*(<р) при условии, что

1р е Ф ПИц,ц > 1 (50).

1.2. Пространство

1.2.1. Предварительные сведения (54). 1.2.2. Вспомогательные утверждения (58). 1.2.3. Описание б* при дополнительном условии на 1р* (69).

1.3. Пространство СТДсг)

1.3.1. Предварительные сведения (83). 1.3.2. Вспомогательные утверждения (86). 1.3.3. Описание при дополнительном условии на Iр* (90).

Глава 2. Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций в Ж”

2.1. Описание £*[}р) при условии, что <р Е ФАМ (р > 1, ц Е (1,р]) • •
2.1.1. Предварительные сведения (98). 2.1.2. Вспомогательные утверждения (99). 2.1.3. О полноте многочленов в £{ц>) (100).
2.1.4. Описание £*{р) (104).
2.2. Описание (7* при условии, что р е ФЙ1Й {р > 1,р Е (1, р])
2.2.1. Введение (107). 2.2.2. Вспомогательные утверждения (110). 2.2.3. Описание сопряженного к (111).
Глава 3. Экспоненциальное представление решений однородного линейного дифференциального уравнения
в частных производных
3.1. Предварительные сведения

3.2. Описание ядер дифференциальных операторов
3.2.1. Формулировка результатов (126). 3.2.2. Локальное продолжение (130). 3.2.3. Специальное покрытие С" (134).
3.2.4. Доказательство теоремы 3.2.3 (136). 3.2.5. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих в £(<р) (138).
3.2.6. Описание ядер дифференциальных операторов, действующих в (7^ (142).
Глава 4. О сюръективности линейных оператора в
пространствах бесконечно дифференцируемых функций
4.1. О сюръективности в Сч,(ст) линейного дифференциального
оператора с постоянными коэффициентами
4.1.1. Введение (146). 4.1.2. Один способ проверки выполнения условия V2 (150). 4.1.3. Пример целой функции, удовлетворяющей условиям L1 и L2 (153). 4.1.4. Вспомогательные утверждения (155). 4.1.5. Доказательство теоремы 4.1.1 (161).
4.2. О возмущении операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в выпуклых
областях из
Глава 5. Теоремы типа Пэли-Винера для функций,
голоморфных в трубчатых областях
5.1. Весовой вариант теорем Пэли-Винера для функций,
голоморфных в трубчатых областях
5.1.1. Предварительные сведения (173). 5.1.2. Применение неравенств Харди-Литллвуда и Юнга в задачах о представлении аналитических функций интегралами Фурье-Лапласа (174).
5.1.3. Представление интегралами Фурье-Лапласа функций, аналитических в трубчатых областях, граничные значения которых удовлетворяют более общим характеристикам роста (184).
5.2. Описание преобразования Фурье-Лапласа одного класса обобщенных функций медленного роста с носителем, лежащим внутри острого выпуклого открытого конуса в М"

5.2.1. Постановка задачи (189). 5.2.2. Голоморфные функции классов Н^ь и Ям,5 (191).
Глава 6. Представление функций из 09(сг) рядами экспонент
6.1. Разложение функций из С1р(а) в ряды экспонент
6.1.1. Введение (198). 6.2.2. Примеры последовательностей из класса ЯЛ (201). 6.1.3. Вспомогательные утверждения (202).
6.1.4. Слабо достаточные множества для Рф((т) (206).
Список литературы

непрерывности функционала Т имеем T(gz) = o(||z — С||) при z —>■ £. А так как функционал Т линеен, то
T{z) - Т(С) = тс-ф-^х*- о + 0(1? - CI)
при z —>■ С- Следовательно, T(z) аналитична в точке С и Т'(С) = r((_ie)e-«). Поскольку С была произвольной точкой в С, то Т - целая функция. Нетрудно видеть, что и для каждого натурального п > 2 справедливо равенство T^nz) = T((—i£)ne~liz), z G С.
Лемма 1.1.4 доказана.
4. Описание £*(<р) при условии, что <р € Ф П lZft, р > 1.
Иногда мы будем использовать ранее уже встречавшееся обозначение: для .z G С /z(C) = ехр(—izÇ) - функция переменного ^ е М
Лемма 1.1.5. Пусть р > 1, <р G IZ^. Тогда для любого т G N найдется постоянная ст > 0 такая, что для любого z G С
çm(exp(-izC)) < cm(l + z)»$ expz)). (1.1.9)
Доказательство. Пусть z G С произвольно. Для любого т G N
Qmifz) < (1 + И)т exp(sup(C Im Z- фт(С))).
«ек
Оценим sup(C Im z — ¥?m(C))) сверху. Из принадлежности tp классу IZ^ xeR
следует, что при некоторых положительных постоянных Am(ip), Bm(tp) <р(0 - тln(l + ICI) > Ат(<р)|СГ - вт(ср), С 6 R
Поэтому найдется число ут > 0, что для всех z таких, что Im z| > ут точная верхняя грань функции С Im z ~ ^(С) + mln(l + |С|) на R будет достигаться в некоторой точке Cm, лежащей в интервале {-{2A^{p)Im z|)Т&, (2A-1(tp)Im z|)^). Тогда при Im z > ут
sup(C Im z — <£>(С) + mln(l + |С|)) — sup(C Im z — (C)) <
< mln(l + |Cm|) < mln(l + (2A^(p)Im z)H^) <
771 ТП
< ln(l + I Im z|) 4 ln(l + 2 A^(ip)) + m ln2.
p — 1 p