Вариационные меры в теории интеграла

• Автор: Жеребьёв, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 157 с.

1 Вводные понятия

1.1 Дифференциальные базисы

1.2 Производные и производные числа относительно дифференциальных базисов

1.3 Некоторые сведения из общей теории меры

2 Вариационные меры

2.1 Определение вариационной меры и некоторые её свойства

2.2 (7-копечпые вариационные меры

2.3 Абсолютно непрерывные вариационные меры

2.4 Теоремы Радона-Никодима для вариационных мер

3 Приложения вариационных мер в теории интеграла

3.1 Вариационные меры и классы функций АСС* и УВб*

3.2 Интегралы хенСтоковского типа
3.3 Дескриптивная характеристика интегралов хенстоковского типа с помощью вариационных мер
Список литературы

Данная работа является исследованием в области теории меры и интеграла. В настоящей диссертации изучаются различные свойства вариационных мер (ст-конечность, абсолютная непрерывность, теоремы Радона-Никодима и др.), а также обобщённо абсолютно непрерывные функции множества — так называемые ВАСО&-функции. При помощи полученных результатов выводятся как известные, так и новые дескриптивные характеристики некоторых кратных интегралов хенстоковского типа. Эти интегралы являются более общими по сравнению с интегралом Лебега и находят применение в теории ортогональных рядов в связи с задачей восстановления коэффициентов всюду сходящихся рядов Фурье по различным ортогональным системам. С обзора исследований, связанных с поиском дескриптивных характеристик указанных интегралов, начинается данная диссертация.
В 1901г. в заметке [74] А. Лебег определил, а затем в своей диссертации [75] и монографии [148] развил понятие интеграла Лебега, которое во многом определило дальнейшее развитие анализа 20 в. Столь широкое распространение в анализе интеграл Лебега получил благодаря совокупности всех своих свойств, выгодно выделяющих его среди остальных концепций интегрирования. Но вместе с тем суммирование по Лебегу обладает некоторыми недостатками, один из которых был выявлен довольно быстро после появления самого интеграла. Выяснилось, что, несмотря на большую общность по сравнению с определённым интегралом Римана, интеграл Лебега не решает задачу восстановления неизвестной первообразной по известной производной, не охватывая тем самым интеграл Ныотона (неопределённый интеграл). Задача о восстановлении первообразной заключается в следующем. Известно, что функция /: [а,Ь] —> 1К является точной производной некоторой, вообще говоря, неизвестной, функции Р1: [а, 6] -» М. Требуется построить такой процесс интегрирования функции /, который бы восстанавливал первообразную А на отрезке [а,Ь] с точностью до константы. Стандартные примеры, показывающие, что интеграла Лебега для решения этой задачи недостаточно, основаны на построении всюду дифференцируемой функции, не являющейся абсолютно непрерывной. Рассмотрим функцию
Она, очевидно, дифференцируема всюду на отрезке [—1,1], поэтому всякая функция вида А+С, где С — некоторая константа, является первообразной

для производной
{„ . 7Г 2к 7Г . . „
215т_--со8;5„р„|х|>0;
О при х — 0.
Вместе с тем функция / не суммируема на отрезке [—1,1], так как не суммируема функция ycos Jr. Поиск интегралов, решивших бы задачу восстановления первообразной, породил в начале 20 в. ряд исследований, выделившихся в итоге в отдельную ветвь действительного анализа под названием "теория интеграла".
В 1912 г. А. Данжуа в заметке [21] предложил процесс интегрирования, названный им тотализацией, решающий поставленную задачу. Кратко опишем, в чём заключается тотализация по Данжуа. Сначала, основываясь на понятии интегрируемости в несобственном смысле по Гарнаку ([44]), но правилу, описанному Данжуа, строится трансфинитная последовательность интегралов {Da}a^Ul+1, где ui в соответствии с общепринятой символикой обозначает порядковое число, соответствующее множеству всех порядковых чисел, отвечающих конечным либо счётным множествам (см. [147, гл. 1, §4]), причём Дг-интеграл является интегралом Лебега. В итоге оказывается, что каждый последующий Иа-интеграл является более общим по отношению ко всем предыдущим интегралам из указанной последовательности. Затем даётся определение функции, тотализируемой по Данжуа. Оно фактически заключается в наложении определённых требований на структуру множества точек несуммируемости1 тотализируемой функции /, позволяющих в конечном счёте построить трансфинитную последовательность {Р0}а^Ш1+1 вложенных замкнутых множеств Ра, каждое из которых представляет собой множество точек Цд-неинтегрируемости функции /, причём множество Р/З нигде не плотно во всех множествах Ра при а<(3. Далее при помощи принципа стационарности Кантора-Бэра (см. [155], [15G]) доказывается, что, начиная с некоторого 7, все множества Ра (7^a^a>i+l) пустые. Это обеспечивает ^^i-интегрируемость функции /. Значение Д^+1-интеграла функции / сам Данжуа называл тоталом функции /. Д^-щ-интеграл называется узким интегралом Данжуа, а приведённое определение интегрируемости (то-тал изируемости) — конструктивным определением узкого интеграла Дап-жуа. Во второй заметке [22] А. Данжуа сформулировал основные свойства построенного им интеграла: непрерывность неопределённого интеграла, равенство производной неопределённого интеграла значению тотализируемой функции почти всюду на отрезке [а, 6], a также главное свойство — всякая точная конечная производная тотализируема, причём неопределённый узкий интеграл Данжуа этой производной является её первообразной. Таким
1 т.е. тех точек отрезка действительной прямой, в любой окрестности которых функция не суммируема

меры т тогда и только тогда, когда для любого е> 0 найдётся г)>О, такое, что для любого множества УеА внешней меры т(У)<г] справедливо неравенство и(У) <£.
Доказательство см. [158, гл. 1, §13, теорема 13.2], [169, гл. 6, §30, теорема 2]. Условие конечности меры и в лемме 1.3 существенно. Например, мера Лсбсга-Стилтьеса на действительной прямой R, построенная по функции х3, абсолютно непрерывна относительно внешней меры Лебега, но для неё лемма 1.3 уже неверна.
Теорема 1.6. Пусть а-алгебры (ЗиЛе общей единицей Е таковы, что (3 С Л. Пусть на а-алгебре А задана а-конечная а-аддитивиая мера А и внешняя мера и, являющаяся при этом а-аддитивиой мерой па а-алгебре (3, причём всякое мпоэ/сество а-алгебры А регулярно относительно а-алгебры 0 и меры А. Тогда, если внешняя мера v абсолютно непрерывна относительно меры А, то и является также а-аддитивной мерой на а-алгебре А.
Доказательство. Докажем сначала, что во всяком множестве У £ А содержится множество X 6 0, такое, что мера разности А(УХ) = 0. В силу

ег-конечности меры А справедливо представление Е=J £+ где множества.
fc=i
ЕиЕА и А(Ek) < -Ьоо (k=l, 2,3,...). Множества Ck = (EY)DEk£A, поэтому В силу регулярности существует множество Vk Е 0, содержащее Ck,
меры (Vk)-X{Ck)^:(Ek)<+oo. Тогда мера А(14СД = А(14) -А(СД = 0 и
(+00 /+00
[J Vk) является искомым, т.к. Х£(3,Х=Е{ [J VA С
£(+иа)=£(ЯУ)=Уи

+00 V х / ,+оо ^ ч / ,+00
л(ух)=л(уп(ии))<л(уп(и(Ксф)+л(уп(ус»)
' к=1 ' ' к=1
/+00 +00
<л(и(к‘с‘))+А(гп(ЕУ)) < Х>(Кс6)
в силу сг-адцитивности меры А.
Пусть теперь даны попарно непересекающиеся множества А,Ач,...ЕА. По доказанному выше найдутся множества Хп£(3, содержащиеся в Ап, такие, что Х(АПХП) = 0 (п = 1,2,3,...). Тогда в силу абсолютной непрерывности гДДДХД =0 (п= 1,2,3,...). Множества Хп также попарно не пересекаются, поэтому из сг-аддитивности меры V на а-алгебре 0 и того, что она