Геометрические характеристики нормированных пространств больших размерностей

• Автор: Бахарев, Фёдор Львович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с.

Ог ЛАВЛЕНИЕ

§0. Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1. Основные понятия и обозначения

§2. Предварительные сведения о нормированных пространствах

Глава 2. Вспомогательные утверждения

§3. Свойства тел с экстремальными внешними объёмными отношениями

§4. Оценка гауссовой меры тела

§5. Оценка мощности £-сети в пространстве операторов

Глава 3. Обобщение теоремы Шарека

§6. Формулировка теоремы

§7. Построение нормы
§8. Оценка вероятности того, что ||Т||яв->.£в < Ко для конкретного оператора Т
§9. Доказательство обощённой теоремы Шарека
§10. Связь между расстоянием Банаха-Мазура и его модифицированным аналогом
Глава 4. Выпуклые оболочки объединений поворотов
НЕКОТОРГО АБСОЛЮТНО ВЫПУКЛОГО ТЕЛА
§11. Шары, полученные объединением нескольких октаэдров
§12. Повороты тел с экстремальным внешним объёмным отношением
Глава 5. Обобщение некоторых классических результатов на модифицированное расстояние Банаха-Мазура

§13. Пространство, равномерно далёкое от всех пространств с
малой базисной константой
§14. Пространство с большими объёмными отношениями
§15. Пространство, далёкое от всех пространств, допускающих
введение комплексной структуры
§16. Пространство, допускающее введение нескольких комплексных структур

§0. Введение
Работа посвящена некоторым вопросам локальной теории банаховых пространств. Эта теория, возникшая в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [32], [33] и теоремы Дворецкого [24] о почти сферических сечениях выпуклых тел, является мощным инструментом для изучения геометрических свойств бесконечномерных банаховых пространств. Это, в первую очередь, связано с тем, что многие свойства обусловлены лишь локальной структурой пространства. Локальная теория разрабатывалась в большом количестве работ известных математиков и использует разнообразную, весьма непростую технику (в частности, связанную с применением вероятностных методов для доказательства существования “патологических” примеров). Несмотря на большое количество работ, локальная теория далека от завершённости и содержит множество открытых вопросов.
Многие результаты локальной теории получены благодаря привлечению теоретико-вероятностных соображений. Классический способ доказательства существования объектов, обладающих специальными свойствами, состоит в проверке того, что эти объекты заполняют множество большой меры. Этот метод стал интенсивно использоваться в геометрии банаховых пространств в середине семидесятых годов двадцатого века. К тому времени были приведены достаточно прозрачные вероятностные доказательства теоремы Дворецкого о почти сферических сечениях выпуклых тел (Мильман [13], Фигель [27], Шанков-ский [48]) и появился знаменитый пример Энфло [26] банахова пространства без свойства аппроксимации, конструкция которого почти сразу приобрела вероятностный характер (Дэви [23]). Примерно в то же время появился интерес к изучению конечномерных нормированных пространств. Многие вопросы теории банаховых пространств получили содержательную интерпретацию на конечномерном уровне, а

4. Подпространство G", а значит и подпространство Z, зависит только от д" и не зависит от g'j.
Рассмотрим теперь оператор Го = PZT = PzPh±T. Заметим, что
rank(To - Рн*-Т) = гапк(РгРц±Т — Рн^-Т)
l) п
= rank((/ - Р2)РНЛ) < rank((/ - PZ)PH,) <
Последнее неравенство верно из-за того, что оператор (/—Pz)Phi обнуляет как векторы, лежащие в Я, так и векторы, лежащие в Z. Поэтому коразмерность его ядра не больше, чем коразмерность Z в Я1, которая по свойству 2 не превосходит y- Если взять
Я0 = {ж G L : Т0х = Рц±Тх},
то будет выполнено неравенство dim Щ ^ tin — тр = 4р. Следовательно,
имеют место соотношения:
'Отх
dim ч ||ЗДЬ = ||РЯ1Г*||,.>55Н, Vzetf„.
Из этого по теореме 2.4, получаем что у оператора D2Tq количество S-чисел, не меньших единицы, ХОТЯ бы 4р.
Заметим теперь, что из неравенства ||Т||яв_*£в ^ Kq следует, что при всех j ^ m векторы Tgj лежат в множестве КоВ, что в свою очередь влечет принадлежность векторов PHiTgj множеству KqPh±B. Если PHiTgj G KqPhlB, то PzPHiTgj G KqPzPh^-B. Последнее соотношение разберем подробнее. Имеет место цепочка равенств
PzPH^Tgj = BzPni-(Tg'j + Тд") = PzPn^Tg'j + РгРц^Тд” = Т^д- + 0.
Второе слагаемое равно нулю, поскольку по построению подпространство Z ортогонально PhlTGq. Множество же ЯдР#±Я совпадает с