Асимптотическое поведение решений интегральных уравнений типа Вольтерра

• Автор: Сокол, Дмитрий Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 129 с.

Глава 1. Допустимость пар пространств функций, имеющих нулевой или конечный предел по мере при £ —> оо для интегральных операторов и уравнений Вольтерра
§ 1.1. Линейные интегральные операторы
§ 1.2. Линейные интегральные уравнения Вольтерра
§ 1.3. Оператор суперпозиции и нелинейное уравнение
Глава 2. Линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения с периодическими ядрами в пространстве асимптотически периодических по мере функций
§ 2.1. Пространство асимптотически периодических по мере функций
§ 2.2.Допустимость пары ^аР"[а, оо),аР для интегральных операторов и уравнений Вольтерра
Глава 3. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для линейных интегральных уравнений Вольтерра в пространстве измеримых ограниченных функций
§3.1. Алгебра интегральных операторов Вольтерра и Ьсвойство подпространств из Ь^(а, ос)
§3.2. Взаимосвязь допустимости и устойчивости для уравнения Вольтерра
Глава 4. Интегральные уравнения с периодическими ядрами в пространстве измеримых функций
§4.1. Асимптотически периодические решения линейных
интегральных уравнений Вольтерра

§4.2.Устойчивость линейных интегральных уравнений с
периодическими ядрами
Литература

Настоящая диссертация посвящена изучению вопроса допустимости некоторых пар пространств для линейных интегральных операторов Вольтерра
а также изучению асимптотики решений линейных и нелинейных интегральных уравнений
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель — профессор Цалюк З.Б.); на IV Северо - Кавказской региональной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения», Махачкала, 1997; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - IX, Воронеж, 1998; на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование», Ростов-на-Дону, 1999; на конференции «Вопросы функционального анализа и математической физики», Баку, 1999; на конференции «Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского», Казань, 2000; на Международной конференции «Нелинейный анализ и функционально - дифференциальные уравнения», Воронеж, 2000; на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» Понтрягинские чтения - XII, Воронеж, 2001;

Правая часть этого неравенства стремится к 0 при к —> оо вследствие того, что хо(Ь) 6 Сд[а, оо). Таким образом,
у {г ^ а : ||а;(£ + ки) - ^(011®” ^ е} * 0.
к-¥
Последнее означает, что последовательность {х(£ + ки)} сходится по мере на [а, оо) к хи^) — своей о;-периодической составляющей.
Достаточность. Пусть х(Ь) £ ВС"[о, оо) и последовательность {х(1 + ки)} сходится по мере на [а, оо) к некоторой у(£) 6 Сп[а,оо), т. е.
Уе > О 45 > 0 ЗК£П: /к>К=>
=Ф- у а : ||:с(£ + ки) - г/(0ИЕп ^ < £•
Докажем сначала, что у{Ь) £ Р"[а,оо). Если последовательность {х^ + ки)} сходится на [а, оо) к у(Ь) по мере, то последовательность {х(£ + и + ки)} сходится по мере на [а, оо) к у(1+и). Для произвольных
е > 0 и 5 > 0 найдём такое К £ М, что для всех к ^ К выполняются
неравенства
у ^ а : \х^ + ки) - у^)||Е" ^ 5/2} < е/2

у {г ^ а : \х{Ь + (к + 1)их) - у(£ + щ)||Е« ^ 5/2} < е/2.
Тогда для к ^ К +
у{Ь^ а: \х(1 + ки) - у(Ь + ах)||Е» ^ <5/2} < е/2

у{1>а: Ш - у(г + £^)||к» ^ 5}
^ у ^ а : \х(Ь + ки) - 2/(£)||к" > 5/2} +
+ у [Ь ^ а : \xit + ки) - у(Ь + и) ||Е» ^ 5/2} <
<С е/2 Т е/2 — е.
Это означает, что для любого заданного <5 > О
у {О а : ||у(г) - у(г + с^Ид» ^5} = О,
откуда получаем, что у(Ь) — у(Ь + и) почти всюду на [а, оо). Последнее означает, что у(£) = у{Ь + и) на [а, оо) ввиду непрерывности обеих функций. Таким образом, ?/(£) е Р^[а, оо).